Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel '12 forrásának megtekintése

Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.

==Lineáris válasz-elmélet==
Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy <math>t_0 \,</math> időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy <math>t\,</math> időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.


A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja <math>\mathcal{H}_0\,</math> és a kölcsönhatást leíró Hamilton <math>\mathcal{H}_I\,</math>, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.

A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) <math>t\,</math> időpontban:

:<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = \mathrm{Tr}( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,</math>

ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:

:<math>i\hbar \frac{dU}{dt} = [U, \mathcal{H}_0]</math>

Ennek a megoldása <math>U\,</math>-ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:

:<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math>

Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: <math>\rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,</math>, továbbá a külső perturbációja legyen <math>-A \cdot f(t)\,</math> alakú, ahol <math>A\,</math> a perturbáló mennyiség operátora, <math>f(t)\,</math> pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:

:<math>\langle X \rangle_t = \langle X\rangle_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)</math>

Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:

:<math>\langle X\rangle_t = \langle X\rangle_0 + \int_{-\infty}^t d\tau \chi(t-\tau) f(\tau)</math>

ahol:

:<math>\chi(t) = \frac{i}{\hbar}\mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]=\frac{i}{\hbar}\langle \left[ X(t), A(0) \right] \rangle_0 </math>

a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény, a jobboldalon a második szögletes zárójel már kommutátort jelöl, a várhatóérték pedig a sokaságátlagot jelenti.

===Nemegyensúlyi izoterm lineáris válsz===
Ha nemegyensúlyi sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ (időfüggetlen, azaz sztatikus esetben), ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kicsit eltér az egyensúlyihoz képest, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Itt most nem időfüggést vizsgálunk, hanem az egyensúlyi eloszlástól való eltérést. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math><X> = <X>_0 + \int_{0}^\beta ds \left[ \langle A(s)X \rangle_0 - \langle X \rangle_0 \langle A \rangle_0 \right] f</math>

Itt az <math>f\,</math>-et szorzó integrál <math>\chi_{XA}\,</math>, az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. A baloldali a nem-egyensúlyi (perturbált) várhatóértéke az X mennyiségnek, a jobboldali első tag az egyensúlyi várható érték. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy <math>\beta\,</math> szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel (alább az első def.) arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel: tehát általánosan az izoterm lineáris válszt a korrelációs függvény <math>\beta</math> (inverz hőméréséklet) integrálja adja.

===Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek===

Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció <math>P\,</math> és a perturbáció amplitudója <math>E(t)\,</math> a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre:

:<math>\sigma(t) = \frac{1}{V} \chi_{JP}(t) = \frac{1}{V}\frac{i}{\hbar}\langle [J(t), P(0)] \rangle\,</math>

==Korrelációs-függvények==

A matematikában (a statisztikában) a korreláció jelzi két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat nagyságát és irányát (avagy ezek egymáshoz való viszonyát). Az általános statisztikai használat során a korreláció jelzi azt, hogy két tetszőleges érték nem független egymástól. Az ilyen széles körű használat során számos együttható, érték jellemzi a korrelációt, alkalmazkodva az adatok fajtájához.
A korreláció csak a lineáris kapcsolatot jelzi. Például egy valószínűségi változó és négyzete korrelációja lehet nulla. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok; ilyenkor a kapcsolatot, ha van, másként kell jellemezni, például feltételes valószínűségekkel. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére.

Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például:

:<math>\langle B(t)A(0) \rangle</math>
:<math>\langle A(0)B(t) \rangle</math>
:<math>\frac{i}{\hbar}\langle B(t)A(0) - A(0)B(t) \rangle</math>
:<math>\frac{1}{2}\langle B(t)A(0) + A(0)B(t) \rangle</math>

Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott <math>C_{BA}(t)\,</math>.

A korrelációs-függvények azért is fontosak, mert belőlük közvetlenül meghatározhatóak a lineáris transzport-koefficiensek. Ha <math>L</math> egy <math>J</math> áramhoz tartozó transzport koefficiens, akkor a Green-Kubo formula alapján a kapcsolatuk:

:<math>L = \frac{V}{kT} \int_0^{\infty} ds \langle J(0)J(s)\rangle </math>

ahol a <math>\langle X \rangle</math> egyensúlyi átlag. Ezek a formulák csak egyensúlyi, végtelenül lassú (kvázistacionárius) folyamatokra érvényesek.

==Fluktuáció-disszipáció tétel==

Az alcímben említett tétel kapcsolatot állapít meg az egyensúly körüli ingadozást jellemző mennyiségek és az egyensúlyhoz való tartás sebessége között. Ennek felhasználásával tehát kizárólag az egyensúly körüli ingadozásból következtetést tudunk levonni a folyamat időbeli lefutására. Amennyiben nem vennénk figyelembe azegyensúly körüli fluktuációkat (vagy ha nem vagyunk képesek azokat megfelelő pon-tossággal mérni), azaz sztochasztikus helyett determinisztikus modellel dolgoznánk,nem tudnánk ilyen információra szert tenni.

A korrelációs-függvény és a lineáris válaszfüggvény között a Fourier-térben egyszerű alakú kapcsolat áll fent:

:<math>C_{BA}(\omega) = \hbar \mathrm{cth} \left(\frac{1}{2}\beta\hbar\omega\right) \cdot \mathrm{Im} \chi_{BA}(\omega)</math>

A korrelációs függvény az egyensúlyi fluktuációkat jellemzi, míg a lineáris válaszfüggvény képzetes része a rendszer irreverzibilis megváltozását (pl. disszipáció) jellemzi, amiközben törekszik az egyensúly felé.

Klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy:

:<math>\chi_{BA}(t) = -\frac{1}{kT} \dot{C}_{BA}(t) \quad t > 0</math>

ahol a klasszikusság feltétele, hogy a rendszer átmenetei sokkal kisebb energiájúak legyenek, mint a hőmérsékleti fluktuációk jellemző energiái: <math>\hbar\omega \ll kT</math>

Ez a kapcsolat azést is fontos, mert a korrelációs-függvények aránylag könnyen mérhetők (pl: neutron-szórás kísérletek a nukleon-nukleon sűrűség korrelációs függvénnyel arányosak) ezáltal pedig megkaphatjuk a válaszfüggvény képzetes részét is. Magát a válszfüggvényt teljes egészében előállíthatjuk csupán a képzetes rész ismeretéből.

==Kramers–Kronig-reláció==
Matematikailag a Kramers–Kronig-reláció kapcsolatot teremt egy komplex függvény képzetes és valós része között, amennyiben a függvény analitikus a felső félsíkban. Fizikai rendszerek válaszfüggvényeinél a kauzalitás miatt ez a feltétel teljesül. A lineáris válszfüggvény Fourier-transzformáltja egy komplex mennyiség, írjuk fel tehát komplex alakban:

:<math>\chi(\omega) = \chi'(\omega)+i \chi''(\omega)\,</math>

Ekkor a Kramers–Kronig-relációk:

:<math>\chi'(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi''(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'</math>

és:

:<math>\chi''(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi'(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',</math>

és <math>\mathcal{P}</math> a főérték integrált jelöli.


{{MSc 2012 záróvizsga}}