„Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok” változatai közötti eltérés
(→Állítás: y_t átlaga 0) |
|||
27. sor: | 27. sor: | ||
==Állítás: <math>y_t</math> átlaga 0== | ==Állítás: <math>y_t</math> átlaga 0== | ||
− | Biz.: legyen <math>Y_s = \{y_s, | + | Biz.: legyen <math>Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}</math>, ekkor, mivel <math>y_t</math> csak <math>y_{t-1}</math>-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss: |
− | E(y_t )=E(y_t│Y_t )=E(y_t│y_ | + | |
− | + | <math>E \left(y_t \right) = E \left(y_t│Y_t \right) = E \left(y_t│y_{t-1} \right) = 0</math> | |
+ | |||
+ | ==Állítás: <math>y_t</math> korrelálatlan== | ||
Biz.: | Biz.: | ||
cov(y_(t+h),y_t )=E(y_t y_(t+h) )=E(y_t y_(t+h)│Y_(t+h-1) )=E(y_t E(y_(t+h)│Y_(t+h-1) ))=0, ha h≠0 | cov(y_(t+h),y_t )=E(y_t y_(t+h) )=E(y_t y_(t+h)│Y_(t+h-1) )=E(y_t E(y_(t+h)│Y_(t+h-1) ))=0, ha h≠0 |
A lap 2011. június 7., 16:18-kori változata
Tartalomjegyzék
ARCH, GARCH modellek
- ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés
- GARCH: generalized ARCH
A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:
(1)
(2)
az idősor értéke t-ben, a szórás t-ben, standard normál eloszlásból származó zaj, legyen nemnegatív.
A -re AR modellt írtunk fel.
Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.
feltételes eloszlása gaussi:
Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:
Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az -re felírva.
Állítás: átlaga 0
Biz.: legyen , ekkor, mivel csak -től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
Állítás: korrelálatlan
Biz.: cov(y_(t+h),y_t )=E(y_t y_(t+h) )=E(y_t y_(t+h)│Y_(t+h-1) )=E(y_t E(y_(t+h)│Y_(t+h-1) ))=0, ha h≠0
Kiszámolhatjuk yt2 és yt4 átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk): E(y_t^2 )=α_0/(1-α_1 ) E(y_t^4 )=(3α_0^2)/(1-α_1 )^2 (1-α_1^2)/(1-3α_1^2 ) Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:
Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eo. kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.
ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re
feltételes eloszlása ismét gaussi:
A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell
Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):
Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood
az f() függvény az feltételes eloszlása:
A –ln(L) minimuma fogja megadni az és paramétereket.