Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok
Tartalomjegyzék
ARCH, GARCH modellek
- ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés
- GARCH: generalized ARCH
A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:
(1)
(2)
az idősor értéke t-ben, a szórás t-ben, standard normál eloszlásból származó zaj, legyen nemnegatív.
A -re AR modellt írtunk fel.
Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.
feltételes eloszlása gaussi:
Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:
Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az -re felírva.
Állítás: átlaga 0
Biz.: legyen , ekkor, mivel csak -től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
Állítás: korrelálatlan
Bizonyítás:
, ha
Kiszámolhatjuk és átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):
Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:
Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eloszlás kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.
ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re
feltételes eloszlása ismét gaussi:
A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell
A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell a következő:
Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):
Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:
az f() függvény az feltételes eloszlása:
A –ln(L) minimuma fogja megadni az és paramétereket.