Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel

Innen: TételWiki

Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.

Lineáris válasz-elmélet

Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy t_0 \, időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy t\, időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.


A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja \mathcal{H}_0\, és a kölcsönhatást leíró Hamilton \mathcal{H}_I\,, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.

A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, \rho\,-val. Egy X\, mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) t\, időpontban:

<X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = \mathrm{Tr}( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,

ahol U(t, t_0)\, az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését t_0\,-ból t\,-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így U\, is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:

i\hbar \frac{dU}{dt} = [U, \mathcal{H}_0]

Ennek a megoldása U\,-ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:

U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau

Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: \rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,, továbbá a külső perturbációja legyen -A \cdot f(t)\, alakú, ahol A\, a perturbáló mennyiség operátora, f(t)\, pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:

\langle X \rangle_t = \langle X\rangle_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)

Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:

\langle X\rangle_t = \langle X\rangle_0 + \int_{-\infty}^t d\tau \chi(t-\tau) f(\tau)

ahol:

\chi(t) = \frac{i}{\hbar}\mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]=\frac{i}{\hbar}\langle \left[ X(t), A(0) \right] \rangle_0

a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény, a jobboldalon a második szögletes zárójel már kommutátort jelöl, a várhatóérték pedig a sokaságátlagot jelenti.

Nemegyensúlyi izoterm lineáris válsz

Ha nemegyensúlyi sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ (időfüggetlen, azaz sztatikus esetben), ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kicsit eltér az egyensúlyihoz képest, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Itt most nem időfüggést vizsgálunk, hanem az egyensúlyi eloszlástól való eltérést. Eredményül azt kapjuk, hogy:

<X> = <X>_0 + \int_{0}^\beta ds \left[ \langle A(s)X \rangle_0 - \langle X \rangle_0 \langle A \rangle_0 \right] f

Itt az f\,-et szorzó integrál \chi_{XA}\,, az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. A baloldali a nem-egyensúlyi (perturbált) várhatóértéke az X mennyiségnek, a jobboldali első tag az egyensúlyi várható érték. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy \beta\, szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel (alább az első def.) arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel: tehát általánosan az izoterm lineáris válszt a korrelációs függvény \beta (inverz hőméréséklet) integrálja adja.

Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek

Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció P\, és a perturbáció amplitudója E(t)\, a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre:

\sigma(t) = \frac{1}{V} \chi_{JP}(t) = \frac{1}{V}\frac{i}{\hbar}\langle [J(t), P(0)] \rangle\,

Korrelációs-függvények

Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például:

\langle B(t)A(0) \rangle
\langle A(0)B(t) \rangle
\frac{i}{\hbar}\langle B(t)A(0) - A(0)B(t) \rangle
\frac{1}{2}\langle B(t)A(0) + A(0)B(t) \rangle

Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott C_{BA}(t)\,.

A korrelációs-függvények azért is fontosak, mert belőlük közvetlenül meghatározhatóak a lineáris transzport-koefficiensek. Ha L egy J áramhoz tartozó transzport koefficiens, akkor a Green-Kubo formula alapján a kapcsolatuk:

L = \frac{V}{kT} \int_0^{\infty} ds \langle J(0)J(s)\rangle

ahol a \langle X \rangle egyensúlyi átlag. Ezek a formulák csak egyensúlyi, végtelenül lassú (kvázistacionárius) folyamatokra érvényesek.

Fluktuáció-disszipáció tétel

A korrelációs-függvény és a lineáris válaszfüggvény között a Fourier-térben egyszerű alakú kapcsolat áll fent:

C_{BA}(\omega) = \hbar \mathrm{cth} \left(\frac{1}{2}\beta\hbar\omega\right) \cdot \mathrm{Im} \chi_{BA}(\omega)

A korrelációs függvény az egyensúlyi fluktuációkat jellemzi, míg a lineáris válaszfüggvény képzetes része a rendszer irreverzibilis megváltozását (pl. disszipáció) jellemzi, amiközben törekszik az egyensúly felé.

Klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy:

\chi_{BA}(t) = -\frac{1}{kT} \dot{C}_{BA}(t) \quad t > 0

ahol a klasszikusság feltétele, hogy a rendszer átmenetei sokkal kisebb energiájúak legyenek, mint a hőmérsékleti fluktuációk jellemző energiái: \hbar\omega \ll kT

Ez a kapcsolat azést is fontos, mert a korrelációs-függvények aránylag könnyen mérhetők (pl: neutron-szórás kísérletek a nukleon-nukleon sűrűség korrelációs függvénnyel arányosak) ezáltal pedig megkaphatjuk a válaszfüggvény képzetes részét is. Magát a válszfüggvényt teljes egészében előállíthatjuk csupán a képzetes rész ismeretéből.

Kramers–Kronig-reláció

Matematikailag a Kramers–Kronig-reláció kapcsolatot teremt egy komplex függvény képzetes és valós része között, amennyiben a függvény analitikus a felső félsíkban. Fizikai rendszerek válaszfüggvényeinél a kauzalitás miatt ez a feltétel teljesül. A lineáris válszfüggvény Fourier-transzformáltja egy komplex mennyiség, írjuk fel tehát komplex alakban:

\chi(\omega) = \chi'(\omega)+i \chi''(\omega)\,

Ekkor a Kramers–Kronig-relációk:

\chi'(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi''(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'

és:

\chi''(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi'(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',

és \mathcal{P} a főérték integrált jelöli.


MSc záróvizsga tételek
Tételek Soktest rendszerek | Transzportfolyamatok | Véletlen gráfok generálása, tulajdonságai | Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások | Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel | Sztochasztikus folyamatok | A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer | Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés | Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva | Adatelemzés: bootstrap modellek | TCP hálózat működése | Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok | Numerikus módszerek | Vizualizációs módszerek