Soktest rendszerek
Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a Transzportfolyamatok tételben kerülnek kifejtésre.
A sokrészecskés rendszerek leírásának három szintje van. A legalapvetőbb, mikroszkópikus szinten minden részecskét külön kezelünk. Ez a klasszikus esetben minden részecskére egy Newton-egyenlet csatolását jelenti. Egy Avogadro-szám nagyságrendű rendszerre ennek a megoldása lehetetlen. Ilyen esetekben célszerű a kinetikus megközelítésben számolni, ahol az egyrészecske tulajdonságokat statisztikus átalagokkal váltjuk fel, és ezekre az átlagokra írjuk fel az egyenleteket. Itt a változóink még mindig mikroszkópikus mennyiségek, de már jóval kevesebb van belőlük, mint a részecskék száma. A harmadik szint a makroszkópikus tárgyalás, ahol már a makroszkópikus állapotjelzőkre vonatkoznak az egyenletek, mint például hőmérséklet, nyomás stb. Az alábbiakban a kinetikus tárgyalásmóddal foglalkozunk.
Tartalomjegyzék
Klasszikus sokrészecskerendszerek leírása
Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:
Ezzel szemben az általános N részecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkora valószínőséggel találjuk egy időben az első részecskét az 1. fázistér-pontban, a második részecskét a 2. fázistér pontban, ... stb.:
A Liouville-egyenlet
Az eloszlásfüggvények megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a Liouville-egyenlet, amely az N részecske-eloszlásfüggvényre vonatkozik:
Itt indexeli az darab részecskét, a kanonikus koordináta, a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:
Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén. Speciálisan 1 klasszikus részecskére az egyenlet:
Molekula dinamika
Nagyon nagy vonalakban csak arról van szó, hogy a Liouville-egyenletet tekintjük úgy, hogy a deriváltakat a Newton-féle erőtörvény adja.
A Boltzmann-egyenlet
A Boltzmann-egyenlet Boltzmann-egyenlet az előzőekkel szemben az egyrészecske-eloszlásfüggvényre vonatkozó mozgásegyenletet adja meg. Alapvetően ez is a fázistérfogat megmaradására épít, amely külső erőhatás esetén ütközések nélkül:
A baloldal az eloszlásfüggvény teljes deriváltja ha infinitezimális. Ha ütközések is vannak, azok a jobboldalra írhatóak. Ezekkel együtt a Boltzmann-egyenlet:
Azaz az ütközési tagtól eltekintve visszakaptuk a Liouville-egyenlet fenti speciális esetét. Boltzmann nagy eredménye az volt, hogy az ütközési tagra is tudott jól használható feltevést tenni az egyrészecske-eloszlásfüggvényekkel kifejezve. Ez a molekuláris káosz feltevés, amely arra épül, hogy a részecskék sebességei korrelálatlanok az ütközés előtt és után, továbbá függetlenek a helytől. Ennek a segítségével az ütközési tag:
ahol az 1, 2 indexek az egyik és másik részecske adatait indexelik, a vesszőtlen menyiségek az ütközés előtti, a vesszősek az ütközés utániakat jelölik, a relatív sebességek megváltozási szöge, az ütközési hatáskeresztmetszet.
Relaxációs közelítés az ütközési tagra
Az egyik leggyakrabban használt és legegyszerűbb közelítés a Boltzmnn-egyenlet ütközési tagjára, az úgynevzett relaxációs idő közelítés. Ez akkor igaz, ha igen közel vagyunk az egyensúlyi eloszláshoz, 1 valószínűséggel találhatunk betöltetlen állapotokat (az 1-f jellegű tagokat 1-el közelíthetjük), továbbá az ütközés előtti és utáni állapotokra teljesül a részletes egyensúly elve. Ekkor:
ahol az egyensúlyi eloszlás Fermi-Dirac statisztika esetén:
Ha eltekintünk a sűrűség gradiensektől és a külső erőhatásoktól, akkor egyszerűen megoldható a Boltzmann-egyenlet:
A Vlasov-egyenlet
Vlasov szerint a Boltzmann-féle kinetikus leírás nem jó hosszútávú kölcsönhatásokkal csatolt sokrészecskerendszerek leírására (ő az elektromos plazma leírására használta, de nyilván a gravitáció is hasonló problémákat vet fel). Egyrészt eleoktronszórásos kísérletekkel való ellentmondás, másrészt a plazmaoszcillációkkal való ellentmondás, harmadrészt a kinetikus tagok divergenciái miatt fellépő problémák miatt egy másik kinetikus leírást keresett, amely a Boltzmann-egyenletek és a Maxwell-egyenletek csatolásával leírná az elektronok és a pozitív töltés atomtörzsek egymásrahatását.
Bár az irodalom erősen keveri az elnevezéseket, de úgy fest, hogy a Vlasov-egyenlet nem más, mint a Boltzmann-egyenlet ütközési tag nélkül, és az erőhatás az elektromágneses hatásokból származik, csatolva a Maxwell-egyenletekkel:
Itt "+" a pozitív töltésű, "-" a negatív töltésű részecskék paramétereit indexeli. Fontos látni, hogy az elektromágneses tér forrásául nem az egyes részecskék, hanem a kiátlagolt eloszlásfüggvények szolgálnak.
Kvantumos sokrészecskerendszerek leírása
Legegyszerűbb (nem-relativisztikus) esetben az időfüggő Schrödinger-egyenletet kellene megoldani:
ahol az N-részecske hullámfüggvény, pedig a sokrészecske Hamilton-operátor. Ennek precíz megoldása szintén esélytelen.
A Hartree-Fock módszer
Statikus esetben egy jó közelítés a Hartree-Fock módszer. Közelítsük a sokrészecske-hullámfüggvényt egyrészecske-hullámfüggvények kombinációjaként, számoljuk ki a kölcsönhatások átlagait ezekkel, majd oldjuk meg ezekre egyenként az egyrészecske-egyenleteket. Az így kapott új hullámfüggvényekkel újrakezdhető az iteráció, és egy önkonzisztens módszert kaphatunk.
A Hartree és a Hartree-Fock módszer abban különbözik, hogy milyen módon bontják fel a sokrészecske-hullámfüggvényt. Előbbi simán szorzatalakban, utóbbi Slater-determináns alakban teszi ezt, ez nyilván jobb felírás (fermionokra), mert figyelembe veszi a hullámfüggvény antiszimmetrikusságát.
Statikus esetben a Hartree-Fock egyenlet a következő alakba írható:
és hatása:
ahol az egyrészecske-sűrűségmátrix:
és az egyrészecske-eloszlásfüggvény:
Időfüggő Hartree-Fock
Ha dinamikát akarunk leírni, akkor a sűrűségmátrix időfejlődését kell tekintenünk. Ezt a Neumann-egyenlet írja le:
A problémát itt a párkölcsönhatás okozza, mert ez csatolódik a kétrészecske-sűrűségmátrixhoz. Ez elvileg az egyenletek végtelen hierarchiájához vezetne (az adott rendű sűrűségmátrix időfejlődése mindig csatolódik az eggyel magasabb rendű sűrűségmátrixhoz). Ezt egy közelítéssel oldjuk fel, nevezetesen a kétrészecske-sűrűségmátrixot az egyrészecskéssel fejezzük ki, ezáltal levágva a hierarchiát:
Így zárt egyenletrendszer kapható, amiben csak szerepel, de csak egyrészecske hatásokat vettünk figyelembe.
Uehling-Uhlenbeck ütközési tag
Ha a kétrészecske hatásokat is figyelembe szeretnénk venni, akkor azt perturbatíven lehet megtenni. Ha feltesszük, hogy az egyrészecske-sűrűségmátrix diagonális, akkor az egyrészecske-sűrűségelemek () mozgásegyenlete:
Az analóg kifejezés a kétrészecskés esetre:
a párkölcsönhatás mindkét esetben. Az időfüggő Hartree-Fock megközelítés tehát tovább javítható, ha a kétrészecske ütközéseket is be tudjuk építeni a modellbe. A fenti kétrészecskés tag adta a motivációt Uehlingnek és Uhlenbecknek, hogy egy klasszikus kinetikus egyenletet írjanak fel, ami a kétrészecskés ütközéseket is figyelembeveszi. Lényegében a Vlasov-egyenlethez hozzáadták a fenti kétrészecskés ütközési tagot a megfelelő klasszikus közelítések felhasználásával:
itt az ütközési hatáskeresztmetszet, pedig a potenciál mátrixeleme.
Gravitációsan kölcsönható soktestrendszerek
A gravitációs soktest modellek nagyban hasonlítanak a fentebb ismertetettekre, csak a Maxwwell-egyenletek helyett például a gravitációs potenciál egyenletét kell csatolni a kinetikus egyenlethez. Itt még egy trükköt szoktak bevetni, nevezetesen a folytonos eloszlásfüggvényből Monte-Carlo módszerrel mintavételeznek pontrészecskéket, és rájuk számolják ki a párkölcsönhatásokat (esetleg megfelelően nagy távolságon elhanyagolva, vagy rácson blokkosítva). Ez egyszerűbb, mintha a folytonos anyageloszlásra kellene kiszámolni az erőhatást.