Mintázat 3.óra

Bevezetés

Túlhűtött folyadékok megszilárdulásakor mintázatok képződnek, mivel nem egyensúlyi folyamatról van szó. A határvonalat általánosan leírhatjuk egy $y(x)$ függvénnyel, de mivel a megszilárdulás általában egy nukleációs pontból indul ki, érdemes áttérni molárkoordinátás leírásra ($r(\phi)$). $r(\phi)$ egyértelműen meghatározza $\sigma(\theta)$ felületi feszültséget.

A felületi szabadenergiát a következőképp definiáljuk:

$E=\oint \sigma \operatorname{d}s$

Az egyensúly feltétele:

$\delta E = 0$ és

$\delta^2 E>0$ azaz $\sigma + \sigma _{\theta \theta''}>0$

Wulff-szerkesztés

Ha van egy $r(\phi)$ felületünk, akkor a Wulff-szerkesztés segítségével egy integrációs konstans erejéig meg tudjuk határozni a $\sigma(\theta)$ felületi feszültség értékét. Ennek a menete a következő:

- Veszünk egy $r(\phi)$ pontot és megszerkesztjük az érintőjét

- Erre az érintőre a az origóból merőlegest állítunk

- A két egyenes metszéspontja megadja $\sigma(\theta)$ értékét ( $\theta$ az érintőre állított merőleges x temgellyel bezárt szöge)

Ha a mintázatban van "egyenes" szakasz, akkor csúcsos lesz a felületi feszültség, ha nincs, akkor nem lesz csúcsos.

Determinisztikus káosz

Matematikában

Vegyük a következő sorozatot:

$x_{n+1}=Ax_n(1-x_n)^2$

és

$0<x_1<1$, $0<A$

A sorozat végtelenben vett határértéke konvergens, ha $A<3$, kétértékű, ha $3<A<5,3$ és beoszcillál, ha $5,3<A$, ennek az oszcillációnak a mértéke szélsőségesen érzékeny $x_1$-re.

Klasszikus mechanikában

Vizsgáljuk a következő rendszert:

Egy karikára felfűzünk egy gyöngyöt. A gyöngy súrlódásmentesen mozoghat a karikán. A kirikát függőlegesen tartjuk és a gyöngyöt az egyesnúlyi helyzetéből kicsit kikmozdítjuk. A karikát a függőleges tengelye körül elkezdjük forgatni $\omega$ szögsebességgel. Azt tapastraljuk, hogy ha $\omega<\omega_c$, a rendszeren nem történik jelentősebb változás, ha $\omega>\omega_c$, a gyöngy új egyensúlyi helyzet körül fog oszcillálni, véletlenszerűen a gyűrű egyik ágán felkúszik. (Bifurkáció jelenik meg)

Nemlineáris viselkedés a kémiában

A reakcióséma, amit megvizsgáltak valahgy így írható le:

Van 3 reakciócentrumunk. A reakció az A-jelzésű centrumban tud elindulni, de az itteni anyagok egy idő után elfogynak. Ha ez beindult, akkor a B reakciócentrum is belendül, ami elindítja a C reakciócentrumot is. A C centrumban olyan reakcók mennek végbe, amelyek a B centrum végtermékeiből A centrumbeli kiindulási anyagokat gyártanak, gí nem fog leállni a ciklus.