Mintázat 4.óra

Bevezető

Használt jelölések:

$g$: gravitációs gyorsulás

$\rho$: sűrűség

$\sigma$: felületi feszültség

$\nu$: kinematikai viszkozitás

$a$: tipikus méret

$U$: sebesség

Folyadékdinamikát leíró fontos paraméterek, fogalmak

Reynold-szám (pl. lamináris-turbulens átmenet jellemzése áramlásoknál):

$Re=\frac{Ua}{\nu}$ (inercia/viszkozitás)

Froude-szám (a Mach-szám folyadékdinamikai megfelelője):

$Fr=\frac{U^2}{ga}$ (inercia/gravitáció)

Eötvös- vagy Bond- szám (cseppek, kapillárisok leírása):

$Eo=\frac{\rho ga^2}{\sigma}$ (gravitáció/görbület)

a kapilláris hossz:

$l_c=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}$

Weber szám (két folyadék határfelületén lezajló jelenségek jellemzésére):

$We=\frac{\rho U^2a}{\sigma}$ (inercia/görbület)

Kapilláris szám (porózus anyagba folyadékot préselünk):

$Ca=\frac{\rho \nu U}{\sigma}$ (viszkozitás/görbület)

Az összes dimenziótlan szám esetén általános, hogy az egyes instabilitások létrejöttét segítő mennyiségek a számlálóban, a fékező mennyiségek pedig a nevezőben szerepelnek.

Konvektív az az instabilitás, ahol a perturbáció egy áramlási vonal mentén előrehaladva erősödik fel, de a keletkezés helyén nem, abszolút instabilitás esetén az áramlás nem tudja elmosni a zajt, helyben erősödik fel, általában globálisan megfigyelhető.

Perturbációszámítás dióhéjban

Mivel az előadáson az hangzott el, hogy csak a fő lépéseket kell tudni, ezért ezeket próbáltam meg kivonatolni:

Ha van egy egyensúlyi rendszerünk, akkor egy tetszőleges változóra (legyen ez most $u$) arra rárakhatunk egy időben le- vagy felcsengő, térben periódikus perturbációt:

$u'=u+\tilde{u}$

$\tilde{u} = \varepsilon e^{\omega t+ikr}$

Egy változó megperturbálása más változók perturbációját is maga után vonhatja (pl. a felület megváltoztatása okozhat nyomásváltozást), itt feltételezzük, hogy a perturbációk hasonló alakúak. Majd ezt behelyettesítjük a rendszert leíró diffegyenletekbe, csak a lineáris tagokat hagyjuk meg, ez meghatároz egy $\omega(k)$ függvényt. Ezek után megnézzük, hogy milyen $k$ értékek esetén kapunk pozitív $\omega$-t. Ezek közül is az a módus fogja dominálni a kapott mintázatot, amelyik a legnagyobb mértékben nő fel, ezt pedig deriválással könnyen meghatározhatjuk.

Az egész számolás csak akkor érvényes, amikor még kicsik a zavarok.

Ha kevés lenne, amit ide leírtam, feltételnül egészítsétek ki!!!

Határfelületi instabilitások

Plateau-Rayleigh instabilitás

Ez az instabiitás arról szól, hogy egy áramló folyadékhenger egy pontján kicsit betüremkedik a felszín, és ha ezt jó hullámhosszal csinálja, akkor a hengeren "gyöngyök" alakulnak ki. Perturbációszámítással megkapjuk a kritikus hullámhosszat, a leggyorsabban felnövő módus hullámhosszát és a henger felszakadozásához szükséges karakterisztikus időt:

$\lambda_c=R_0$

$\lambda_c\approx 9,02 R_0$

$\tau=\sqrt{\frac{\rho R_0}{\sigma}}$

ahol $R_0$ a henger sugara, $\rho$ a sűrűsége és $\sigma$ a felületi feszültség.

Rayleigh-Taylor instabilitás

(Ide tartozik D. Sharp, Physica D-ben megjelent cikke)

Ez az instabilitás abban az esetben jön létre, amikor egy kisebb sűrűségű folyadék fölé egy nagyobb sűrűségűt rétegzünk (pl. a plafonon száradó festék, illetve forgó rendszerben történhet hasonló instabilitás). Itt egy fonots paraméter, a sűrűségkontraszt, vagy Atwood szám:

$A=\frac{\rho_H-\rho_L}{\rho_H+\rho_L}$

ahol $\rho_H$ a sűrűbb, $\rho_L$ a ritkább anyag sűrűsége. Egy $k$ hullámhosszú harmónikus perturbáció amplitúdóját a következő egyenlet írja le:

$\ddot{\eta}(t)=\alpha^2(k)\cdot \eta(t)$

ahol a növekedési ráta:

$\alpha^2(k)=G\left(\frac{\rho_H-\rho_L}{\rho_H+\rho_L}\right)k-\left(\frac{\sigma}{\rho_H+\rho_L}\right)k^3$

Itt $G$ a felületre merőleges gyorsulás. A felületi feszültség simító hatása miatt egy kiritkus $\lambda_c$ hullámhossznál rövidebb perturbációk elhalnak, mert $\alpha^2(k)$ negatív lesz:

$\sqrt{\frac{\sigma}{G(\rho_H-\rho_L)}}$

A $\frac{\partial\alpha(k)}{\partial k}=0$ feltételből pedig megkapjuk a leggyorsabban növő módust:

$\lambda_{max}=\sqrt{3}\lambda_c$

Ehhez hasonló a Richtmyer-Meshkov instabilitás, amikor egy lökéshullám halad át a határfelületen.

Termikus instabilitások

Rayleigh-Bénard instabilitás

(Ide tartozik G. Ahlers 2003-as cikke)

Egy alulról fűtött vízszintes folyadékrétegben egy kritikus hőmérséklet-gradiens felett konvekciós mintázat alakul ki, mert a melegebb folyadék sűrűsége egy kicsit kisebb. Ez a mintázat lehet hengeres vagy hexagonális cellákból álló. Ez az instabilitás lehet stabil, létrejöhet másodlagos instabilitás, vagy előfordulhat kaotikus áramlás is.

Az istabilitási küszöböt jeléző paraméter a Rayleigh szám:

$R=\frac{\alpha gd^3\Delta T}{\kappa \nu}$

ahol $\alpha$ a hőtágulás együttható, $g$ a gravitációs gyorsulás, $d$ a rétegvastagság, $\Delta T$ a hőmérséklet-különbség, $\kappa$ a hődiffúziós állandó és $\nu$ a kinematikai viszkozitás.

Az instabilitási küszöb értéke $R_c=1708$, a leggyorsabban növő módus $k_c=3,117$.

Ebben a rendszerben másodlagos instabilitások is megfigyelhetők. Létezik egy olyan hullámszám-Reyleigh szám tartomány, ahol a hengeres áramlás stabil, ez a Busse-balloon. Ezen kívül léphetnek fel másodlagos instabilitások. Ennek jellemzésére érdemes bevezetni a Prandtl számot:

$Pr = \frac{\nu}{\kappa}$

Abban az esetben, ha $Pr < 3$ a Busse-balloon is kisebb.

A stacionárius hengeres mintázat periodicitását a rétegvastagság határozza meg.

Bénard-Marangoni instabilitás

Ez a Rayleigh-Bénard instabilitáshoz hasonlít, annyi a különbség, hogy itt a hideg felszín szabad, illetve a felületi feszültség az áramlások miatt nem homogén, így a felület is perturbálódik. Ennek a paramétere a Maragoni szám:

$M=-\frac{\partial \sigma}{\partial T} \frac{\Delta T d}{\rho_0 \kappa \nu}$

Az instabilitás beindulásához szükséges küszöb:

$M_c\approx 80$

A RB és a BM instabilitásokat összehasonlítva:

$\Delta T_{BM}\sim \frac{1}{d}$

$\Delta T_ {RB}\sim \frac{1}{d^3}$

Ami azt jelenti, hogy vékony rétegekben hamarabb megindul a Bénard-Marangoni instabilitás.

A kialakuló mintázatból nehéz megállapítani, hogy a kettő közül melyik instabilitás van jelen. A RB és a BM között az a különbség, hogy az RB esetén a felfelé áramló helyek fölött vannak "púpok" a felszínen, a BM instabilitás esetén ez fordítva van.

Gyakran a hőmérséklet-gradienst egy, a folyadék fölé helyezett szirárd laőőal stabilizálják, ilyenkor két egymás feletti réteget kell figyelembe venni.

Nem-newtoni folyadékok

<<<Vissza az óra nyitólapjára