Relativitáselmélet

Matematikai alapok és fogalmak

A relativitáselmélet matematikai alapjai

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus kvantummechanika

(ez egy külön oldal lenne, de nem sikerült egyből rájönnöm, hogy hogy kell új oldalt csinálni)

Ebben a részben $c = 1$

A Klein-Gordon egyenlet

Legyen $\Psi (t,\mathbf{x})$ egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a $E^2 = p^2 + m^2$ egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: $\mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla$, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: $E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:

$\left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0$

Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan: $p_{\mu} p^{\mu} = m^2$. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: $p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right )$. A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:

$\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0$

A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:

$\Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}}$

Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a $k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}$ feltétel. Ez azt jelenti, hogy a $k^{\mu}$ négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: $k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )$, így ezekre a $\omega^2 = k^2 + m^2$ diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) $E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}$. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).

Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosításaként. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:

$\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0 \quad \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi^* = 0$

Szorozzuk meg az eredeti egyenletet (balról) $\Psi^*$-al, a komplex konjugált egyenletet $\Psi$-vel, és vonjuk ki a kettőt egymásból. Az eredmény:

$\Psi^* \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi^* = \partial_{\mu} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) = 0$

Azt kaptuk, hogy egy négyesvektor divergenciája 0. Ez lehetőséget ad egy négyesáram bevezetésére, amire egy megmaradási tétel (kontinuitási egyenlet) írható fel. Legyen:

$j^{\mu} = \frac{i \hbar}{2m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )$

Ekkor fennáll, hogy $\partial_{\mu} j^{\mu} = 0$. A komponenseket $j^{\mu} = \left ( \rho, \mathbf{j} \right )$ formában írva ez egy kontinuitási egyenlet jelent:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \mathbf{j}$

Az egész térre integrálva azt kapjuk, hogy a $\rho$ sűrűség integrálja állandó:

$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} t} \int \rho \operatorname{d}^3 x = 0$

Ez alapján azt lehetne mondani, hogy $\rho$ a Schrödinger egyenletnél bevezethető valószínűségsűrűséghez hasonlóan viselkedik, ennek ellenére nem lehet valószínűségsűrűségként értelmezni, mert a Schrödinger-egyenletnél használt abszolútértéknégyzettel szemben $\rho$ értéke nem csak pozitív lehet, hanem negatív is. Ez abból következik, hogy a Klein-Gordon egyenlet időben másodrendű, így kezdőfeltételként $\Psi$-t és az idő szerinti deriváltját tetszőlegesen lehet megválasztani, úgy is, hogy $\rho$ egyes helyeken negatív legyen.

Így a Klein-Gordon megoldásainak nem lehet a Schrödinger-egyenletnél megszokott valószínűségi értelmezést adni. Abban az esetben viszont, ha töltött részecskékről van szó, egy töltés áramsűrűséget lehet bevezetni. Legyen ekkor:

$j^{\mu} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )$

Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő $e$ szorzó, így $j^{\mu}$ négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponenes a töltéssűrűség:

$\rho = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \Psi \frac{\partial \Psi^* }{\partial t} \right )$

A térszerű komponensek a hármas áramsűrűséget adják:

$\mathbf{j} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^* \right )$

Az össztöltés megmarad:

$Q = \int \rho \operatorname{d}^3 x = \textrm{állandó}$

Ezzel szemben $\rho$ értéke egy adott pontban tetszőlegesen változhat, lehet pozitív és negatív is. Ez azt jelenti, hogy a Klein-Gordon egyenlettel nem lehet egy rögzített (pozitív vagy negatív) töltésű részecskét leírni, az időfejlődés során megjelenhetnek ellentétes töltésű tartományok, ennek magyarázata az, hogy minden részecskének létezik ellentétes töltésű antirészecskéje, és a részecskék és antirészecskék száma nem marad meg, csak az össztöltés, keletkezhetnek és annihilálódhatnak részecske-antirészecske párok. Ennek a teljes leírására azonban a Klein-Gordon egyenlet jelenlegi formája nem alkalmas, el kell végezni a $\Psi$ tér második kvantálását. Ezt itt nem tesszük meg, az antirészecskék jelenlétét viszont a síkhullám megoldásokon is tudjuk egyszerűen szemléltetni. Ehhez írjuk fel az előbbi síkhullám megoldást (a szokásos $E = \hbar \omega$ és $\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}$ jelöléseket használva):

$\Psi = A e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E t \right ) }$

Itt $\mathbf{p}$ tetszőleges (hármas) vektor, és érvényes az $E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}$ diszperziós reláció. Legyen a pozitív megoldás $E_p \equiv + \sqrt{p^2 + m^2}$, így $E = \pm E_p$, a különböző előjelhez tartozó megoldások külön felírva:

$\Psi_{+} = A_{+} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E_p t \right ) } \quad \quad \Psi_{-} = A_{-} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} + E_p t \right ) }$

Az ezekből számolt töltéssűrűségek (a deriválást elvégezve):

$\rho_{+} = + \frac{e E_p}{m} \left | A_{+} \right |^2 \quad \quad \rho_{-} = - \frac{e E_p}{m} \left | A_{-} \right |^2$

Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a $\Psi_{+}$ megoldás $+e$ töltésű, a $\Psi_{-}$ megoldás $-e$ töltésű részecskéket ír le.