VélFiz 1.tétel

1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése

Alapfeltevések

1. A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
2. $\tau$ << megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
3. Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható valószínűségi alapon.

Jelölések

• $n\Phi(\Delta)d\Delta$: annak valószínűségét adja meg, hogy n darab részecske $\Delta$-t ugrik $\tau$ idő alatt.
• $p(x,t)dx$: annak valószínűsége, hogy t időpontban alatt x-ben van a részecske.

A Brown-mozgás szemléltetése egy dimenzióban

Einstein-féle leírás (1905)

Annak valószínűsége, hogy a részecske $\tau$ idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:

$p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta$

Az egyenlet jobb oldalának első tagja annak valószínűsége, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy $\tau$ idő múlva éppen arrébbmegy egy bármekkora $\Delta$ ugrással másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valamekkora $\Delta$ távolságról éppen $\Delta$-t ugorva megérkezik $\tau$ idő múlva.

Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik integráljel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek $\Delta$-tól, ekkor:

$p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta$

És mivel $\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1$ (hiszen $\Phi(\Delta)d\Delta$ annak valószínűségét adja meg, hogy egy részecske $\Delta$-t ugrik $\tau$ idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy $\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)$), ennek következtében a bal oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

$p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta$

Chapman-Kolmogorov egyenlet

A fenti egyenletet $\tau$-ban és $\Delta$-ban sorbafejtjük, az alábbiak szerint:

$p(x,t+\tau) = p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t} \tau + ...$

$p(x-\Delta,t) = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \Delta + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \Delta^2$

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

$p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

$\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont $\overline{\Delta}$ értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük $\overline{\Delta^2}$-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

$\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}$

Ám $\overline{\Delta}$ értéke nulla, mivel a $\Phi(\Delta)$ függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}$

$\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}$-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a diffúziós egyenlet általános alakját, mely:

$\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)}$

Dinamikai egyenlet a valószínűség időbeni változására (más néven a Fokker-Planck egyenlet).

Becslés a diffúziós együttható értékére

$D = \frac{\overline{\Delta^2}}{\tau} \approx \frac{10^{-12} m^2}{1 s} = 10^{-12} \frac{m^2}{s}$

A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése

A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha $p(x,t = 0) = \delta(x)$ akkor ebből a megoldás:

$p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}$ (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján $<x^2>$ értékére az alábbi összefüggés születik, ahol $\lambda$-t konstansnak várjuk:

$<x^2> = \lambda Dt = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx$=$\frac{4Dt}{\sqrt{\pi}}{\int\limits_{-\infty}^\infty y^2 e^{-y^2}dy}$

az utolsó egyelőségnél változó helyettesítés történt: $y = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}$

Az integrál értéke innen$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ így: $<x^2> = 2Dt$ (azaz $\lambda = 2$)

Sodródás

A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: $\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)$

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

$\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0$

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

$p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

$\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}$

($\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:$ mikroszkopikus hossz, $\tau:$ mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. A fenti egyenlet jobb oldalán az első tag önmagában egy driftet ír le: $\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}$, ahol $v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}$

Driftelő "csomag"

Például: $p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)$. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: $-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}$

Viszont érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha ezt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre és közben szétterjed:

$\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}$

Bevezetve a $\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)$ átalakítást az egyenlet a következőképpen módosul:

$-v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y}$ Innen:

$\tilde{p}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{y^2}{4Dt}}$ --> $p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(x-vt)^2}{4Dt}}$

Driftelő és szétterjedő "csomag"