VélFiz 3.tétel

3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

Alapvetése

• Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
• A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
• Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

Példa

Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin $\left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}$

Spinbeállások nagy rendszer esetén

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

Spinbeállások 2-részecskés rendszernél

A Master-egyenlet felírása

Most legyen n diszkrét állappot.

• $p_n(t):$ mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?

• Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer n-ből m állapotba megy át.

Ennek jelölése: $w_{m n}$ --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

• Fermi aranyszabály: $\mathcal{H}$ ismert, $w_{m n} \sim |<n|\mathcal{H}|m>|^2$ QM-ben.

Ising [1] spin-rendszer esetén: $\mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2$, ahol $S_i = \pm 1$

• Tegyük fel, hogy a folyamat Markov-folyamat, tehát létezik olyan $\Delta t$, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik $t + \Delta t$-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

$p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{m}w_{m n}\Delta t p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}\Delta t p_{m}(t)\,$

A $p_n(t)$-t ismerem, a $p_n(t+\Delta t)$-t keresem, a $w_{m n}$ és $w_{n m}$ egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek $p_n(t+\Delta t)$ körül, $p_n(t)$ kiesik, így:

$\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}p_{m}(t)$

A Master-egyenlet diszkrét állapottérben

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

$p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}$, ahol $E_n$ az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez $w_{m n}$ és $w_{n m}$-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

Példa

Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)

---