VélFiz 5.tétel

5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák

Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények módszerét érdemes használni.

Sorbanállási problémák

Egy fizikai pl.: atom abszorpció - kirakódások és elpárolgások...

Jelölések:

• $w_b$: bejöveteli ráta
• $w_k$: kimeneti, feldolgozási ráta

Stac. állapotot jellemző mennyiségek:

• $P_n$: milyen valószínűséggel van n vásárló a pénztárnál?
• $\bar{n}$: átlagosan mennyien állnak a pénztárnál?
• $\bar{n^2} - \bar{n}^2$: Fluktuáció

P változásának valószínűsége: ($P_0$ külön eset, hiszen nincs $P_{-1}$.)

$\partial_{t}P_{n}=-(w_{k}+w_{b})P_{n}+w_{b}P_{n-1}+w_{k}P_{n+1}$

• jobb oldal 1.tagja:$P_{n}$ állapotból való kilépés bejövetel vagy kimenetel által
• 2.tag:$P_{n}$ állapotba lépés bejövetellel;
• 3.tag:$P_{n}$ állapotba lépés kimenetellel;

$\partial_{t}P_{0}=-w_{b}P_{0}+w_{k}P_{1}$

Momentum generátor függvény bevezetése:

(Az eloszlásfüggvény momentumait generálja)

$G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}P_{n}(t)$

$G(0,t)=\sum P_{n}(t)=1$

1. momentum: $-\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\sum_{n}nP_{n}(t)=\bar{n}(t)$

2. momentum: $\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\bar{n^{2}}(t)$

Ez utóbbit felhasználva: $\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\left[\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)-\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}$

Vezessük be a következő jelölést: $q=\frac{w_{b}}{w_{k}}$. Stacionáris megoldás van, ha $0\leq q\leq1$.

$\partial_{t}P_{n}=-(1+q)P_{n}+qP_{n-1}+P_{n+1} :(n\geq1)$

$\partial_{t}P_{0}=-qP_{0}+P_{1}$

Így G időbeli változása:

$\partial_{t}G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}\partial_{t}P_{n}(t)=-qP_{0}+P_{1}-(1+q)\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n}-(1+q)P_{0}+q\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}$, ahol

• $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n} -(1+q)P_{0} = G(s,t)$
• $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn+1-1}P_{n-1}=e^{-s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n-1)}P_{n-1}=e^{-s}G(s,t)$
• $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}=e^{s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1)}P_{n+1}=e^{s}G(s,t)$
• és $qP_0$-ak kiejtik egymást

Ez utóbbiakkal:

$\partial_{t}G=(1-e^{s})P_{0}-(1+q)G+qe^{-s}G+e^{s}G=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G+(1-e^{s})P_{0}$

Stacionárius állapot esetén:

$\partial_{t}G=0=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(e^{-s}-1)(1-qe^{-s})G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(1-qe^{-s})G^{*}-P_{0}^{*}$, mivel $(e^{-s}-1) = 1$

Ebből átrendezéssel kapjuk a stacionárius generátor-függvényt:

$G^{*}(s)=\frac{P_{0}^{*}}{1-qe^{-s}}$

$P_{0}^{*}$ a normálásból több féle képpen is kifejezhető, az eredmény: $P_{0}^{*}=1-q \,$

Az előbbiek alapján az egyensúlyi generátor függvény: $G^{*}(s)=\frac{1-q}{1-qe^{-s}}$

Stacionárius esetben a momentumok:

• $\bar{n^{*}}=-\left(\frac{\partial G^{*}}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{(1-q)qe^{-s}}{\left(1-qe^{-s}\right)^{2}}=\frac{q}{1-q}$
• $\bar{n^{*2}}=(1-q)q\frac{-e^{-s}(1-qe^{-s})-e^{-s}2qe^{-s}(1-qe^{-s})}{\left(1-qe^{-s}\right)^{4}}=(1-q)q\frac{1+q}{\left(1-q\right)^{3}}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}$
• $\bar{n^{*2}}-\bar{n^{*}}^{2}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}-\frac{q^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}=\frac{q}{\left(1-q\right)^{2}}$

A "matematikus" leírást kihagytam, remélem nem gond. Cz

A kumuláns Generátor-függvény bevezetése: $\phi(s,t)=lnG(s,t)$

A kumulánsok:

• $-\left(\frac{\partial\phi}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{1}{G}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\bar{n}$
• $\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\left[\frac{1}{G}\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}-\frac{1}{G^{2}}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}=\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}$
• $-\left(\frac{\partial^{3}\phi}{\partial s^{3}}\right)_{s=0}=\bar{n^{3}}-3\bar{n^{2}}\bar{n}+\bar{n}^{3}$ - a harmadik kumuláns megadja, mennyire nem szimmetrikus a függvény.
• A 4. kumuláns megadja, hogy a függvény a Gauss-hoz képest mennyire keskeny

Gauss-függvény elestében az első két kumuláns nem nulla, de a többi utánuk 0:

$\bar{n}=a=\kappa_{1};\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\sigma=\kappa_{2};\kappa_{3}=0;\cdots$

Generátor-függvény Fourier-transzformálva: $G(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-isx}P(x)dx\sim e^{-\frac{\left(s-\bar{s}\right)^{2}}{\sigma^{2}}}\Longrightarrow\ln G(s)\sim As^{2}+Bs+C$

Gauss-on kívül nincs másik olyan függvény, hogy valamettől 0-k a kumulánsai, mert visszafelé transzformálva P-re negatív értéket kapnánk.