VélFiz 6.tétel

6. tétel: Születési-kihalási problémák

Jelölje $P_{n}$ azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen n darab élőlény él.

Definiáljuk a következő átmeneti valószínűségeket:

• $\lambda_{n}$ - pozitív irányba ugrunk 1-et (a populáció 1-gyel nő)
• $\mu_{n}$ - negatív irányba ugrunk 1-et (a populáció 1-gyel csökken)

Ha n=0 egy olyan pont, melyből nem lehet kijönni, ekkor kihalt a populáció. Ettől a határfeltételtől most eltekintünk.

Ezeknek megfelelően a Master-egyenlet:

$\partial_{t}P_{n}=-(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}+\lambda_{n-1}P_{n-1}+\mu_{n+1}P_{n+1}$

• $(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}$ - annak valószínűésge, hogy ellép n helyről
• $\lambda_{n-1}P_{n-1}$ - annak valószínűésge, hogy n helyre lép $P_{n-1}$-ből
• $\mu_{n+1}P_{n+1}$ - annak valószínűésge, hogy n helyre lép $P_{n+1}$-ből

Ebben az esetben egyszerűbb a számolás, ha a generátor függvényt az eloszlás fourier transzformáltjával vezetjük be. Itt hallgatólagosan kiterjesztettük az állapotteret negatív egyedszámra is, azonban ez csupán formalizmus.

$G(s,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{isn}P_{n}(t)$

Tehát ha a Master-egyenlet mindkét oldalát szummázzuk n-szerint, és megszorozzuk $e^{isn}$-nel, akkor megkapjuk a Generátor-függvény változását:

$\partial_{t}G=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\lambda_{n}+\mu_{n})e^{isn}P_{n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lambda_{n-1}e^{is(n-1+1)}P_{n-1}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mu_{n+1}e^{is(n+1-1)}P_{n+1}=$

$=-\sum_{n}(\lambda_{n}+\mu_{n})e^{isn}P_{n}+e^{is}\sum_{n}\lambda_{n-1}e^{is(n-1)}P_{n-1}+e^{-is}\sum_{n}\mu_{n+1}e^{is(n+1)}P_{n+1}=\,$

$=\sum_{n}\left[\lambda_{n}\left(e^{is}-1\right)+\mu_{n}\left(e^{-is}-1\right)\right]e^{isn}P_{n}\,$

Stacionárius megoldás

Feltesszük, hogy az eredmény valószínűségek normalizálhatóak lesznek. Eből következik, hogy nincsen áramló megoldás, mert az végtelen idő alatt végtelenbe menne el, és nem lenne normalizálható. Ekkor teljesülni fog a részletes egyensúly:

$\lambda_{n}P_{n}^{*}=\mu_{n+1}P_{n+1}^{*}$

Tegyük fel, hogy $P_0$ ismert (a normalizációból meghatározható). Ekkor:

$\begin{array}{ccc} P_{1}^{*}=\frac{\lambda_{0}}{\mu_{1}}P_{0} & \rightarrow & P_{-1}^{*}=\frac{\mu_{0}}{\lambda_{-1}}P_{0}\\ P_{2}^{*}=\frac{\lambda_{1}}{\mu_{2}}P_{1}=\frac{\lambda_{0}\lambda_{1}}{\mu_{1}\mu_{2}}P_{0} & \rightarrow & P_{-2}^{*}=\frac{\mu_{0}\mu_{1}}{\lambda_{-1}\lambda_{-2}}P_{0}\\ \vdots & & \vdots\\ P_{n}^{*}=\prod_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k-1}}{\mu_{k}}P_{0} & \rightarrow & P_{-n}^{*}=\prod_{k=1}^{n} \frac{\mu_{-(k+1)}}{\lambda_{-k}}P_{0}\end{array}$

Ezek alapján a normálás:

$\partial_{t}G=P_{0}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k-1}}{\mu_{k}}+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{\mu_{-(k+1)}}{\lambda_{-k}}\right]=1$

Ez az egyenlet megadja $P_0$-t. Bár bonyolultak a szummák, de a stacionárius megoldást meg lehet kapni és teljesül a részletes egyensúly is.

Lineáris folyamatok

A lineáris folyamatokat úgy definiálhatjuk, mint olyan folyamatok, ahol az egyedszámot befolyásoló halálozási és születési ráták a populáció méretétől (n) lineárisan függnek:

• $\lambda_{n}=\lambda_{0}+\lambda_{1}n$
• $\mu_{n}=\mu_{0}+\mu_{1}n$

Ez egy speciális esete az általánosan felírható n függésnek, amit például hatványsor alakjában tekinthetünk, feltéve, hogy a sor konvergens:

• $\lambda_{n}=\lambda_{0}^{(0)}+\lambda_{1}^{(0)}n+\lambda_{2}^{(0)}n^{2}+...$
• $\mu_{n}=\mu_{0}^{(0)}+\mu_{1}^{(0)}n+\mu_{2}^{(0)}n^{2}+...$

Korábban már meghatároztuk a generátor-függvény időfejlődését:

$\partial_{t}G=\sum_{n}\left[\lambda_{n}\left(e^{is}-1\right)+\mu_{n}\left(e^{-is}-1\right)\right]e^{isn}P_{n}\,$

Látható, hogy $\lambda_{n}$-k az $P_{n}$ tényezővel vannak megszorozva a zárójelen kívül. Azonban $\lambda_{n}$-ban szerepelnek n különböző hatványai, amik a P szorzóval éppen a különböző momentumokat adják (ha a külső szummát egy pillanatra bevisszük):

$k. momentum = \sum_{n} n^k P_{n}$

Itt k a $\lambda_{n}$, vagy $\mu_{n}$ sorfejtésében az összegző index. Tehát a generátor-függvényre vonatkozó egyenletben a különböző momentumok szerpelnek különböző $\lambda^{(0)}$, vagy $\mu^{(0)}$ szorzókkal. Van azonban még egy exponenciális szorzó is, ezzel a generátor függvényre játszható át a kifejezés, felhasználva, hogy a momentumok a generátor-függvény deriváltjaikélnt állíthatóak elő. Összességében a születési és halálozási ráták a következőképpen írhatóak:

$\lambda_{n}=\sum_{k} \lambda_{k}^{(0)} (-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G$

$\mu_{n}=\sum_{k} \mu_{k}^{(0)} (-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G$

Visszaírva G időbeli változásának egyenletébe:

$\partial_{t}G=\sum_{n}\left[\sum_{k}\lambda_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G(e^{is}-1)+\sum_{k}\mu_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G(e^{-is}-1)\right]$

A következőket tekinthetjük operátoroknak, így átírhatóak a következő formába:

$\sum_{k}\lambda_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}=\lambda\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)$

$\sum_{k}\mu_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}=\mu\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)$

Így $\partial_{t}G$-re a végleges formula:

$\partial_{t}G=G\sum_{n}\left[(e^{is}-1)\lambda\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)+(e^{-is}-1)\mu\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)\right]$

(Ez tulajdonképpen egy differenciálegyenlet G-re)

Momentumok számolása

(Továbbra is lineáris folyamatokat vizsgálunk), tehát $\lambda_{n}=\lambda^{0}+\lambda^{1}n$ és $\mu_{n}=\mu^{0}+\mu^{1}n$

Kiindulási képletünk ismét a

$\partial_{t}P_{n}=-(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}+\lambda_{n-1}P_{n-1}+\mu_{n+1}P_{n+1}$

Megint szummázunk n-szerint, de most n-nel szorzunk. Így n várható értékének változását kapjuk:

$\partial_{t}<n>=-\sum_{n}(\lambda_{n}+\mu_{n})nP_{n}+\sum_{n}\lambda_{n-1}nP_{n-1}+\sum_{n}\mu_{n+1}nP_{n+1}=$

$=-<(\lambda_{n}+\mu_{n})n>+<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>+<\mu_{n}n>-<\mu_{n}>\,$

ahol $<(\lambda_{n}+\mu_{n})n>$, $<\lambda_{n}n>$ és $<\mu_{n}n>$ kiejtik egymást.

$\left(felhaszn\acute{a}ltuk,hogy:\sum_{n}\lambda_{n-1}(n-1+1)P_{n-1}; \sum_{n}\mu_{n+1}(n+1-1)P_{n+1}\right)$

Így adódik: $\dot{<n>}=<\lambda_{n}>-<\mu_{n}>=\lambda^{(0)}-\mu^{(0)}+\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)<n>$, ami egy lineáris egyenletrendszer, melynek megoldása a homogén és a partikuláris megoldások összege:

$<n>_{t}=<n>_{0}e^{(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)})t}+\frac{\mu^{(0)}-\lambda^{(0)}}{\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}}$

A homogén megoldásból adódik a feltétel, hogy $\lambda^{(1)}<\mu^{(1)}$. Különben elszállna az exponens.

$\partial_{t}<n^{2}>=-<\left(\lambda_{n}+\mu_{n}\right)n^{2}>+\sum_{n}\lambda_{n-1}n^{2}P_{n-1}+\sum_{n}\mu_{n+1}n^{2}P_{n+1}$

$n^2$-et átírjuk a következőképp: $n^{2}=(\left(n-1\right)+1)^{2}=(n-1)^{2}+2(n-1)+1=(\left(n+1\right)-1)^{2}=(n+1)^{2}-2(n+1)+1$. Így:

$\partial_{t}<n^{2}>=$

$=-<\left(\lambda_{n}+\mu_{n}\right)n^{2}>+<\lambda_{n}n^{2}>+2<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>+<\mu_{n}n^{2}>-2<\mu_{n}n>+<\mu_{n}>=$

$=2<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>-2<\mu_{n}n>+<\mu_{n}>=<\lambda_{n}(2n+1)>-<\mu_{n}(2n-1)>\,$

Itt újra be lehet helyettesíteni a $\lambda_{n}$-re és $\mu_{n}$-re felírt összefüggéseket...

Egyensúlyban a fentiekből a következőket fogjuk kapni:

$<n^{2}>^{*}=\frac{\left(\lambda^{(0)}-\mu^{(0)}\right)+\lambda^{(0)}\mu^{(1)}-\mu^{(0)}\lambda^{(1)}}{\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)^{2}}\Longrightarrow<n^{2}>^{*}-<n>^{*2}=\frac{\lambda^{(0)}\mu^{(1)}-\mu^{(0)}\lambda^{(1)}}{\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)^{2}}$