Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok

ARCH, GARCH modellek

• ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés

• GARCH: generalized ARCH

A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:

$y_t = \sigma_t \epsilon_t$ (1)

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2$ (2)

$y_t$ az idősor értéke t-ben, $\sigma_t$ a szórás t-ben, $\epsilon_t$ standard normál eloszlásból származó zaj, $\alpha_1$ legyen nemnegatív.

A $\sigma_t^2$-re AR modellt írtunk fel.

Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.

$y_t$ feltételes eloszlása gaussi: $y_t | y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)$

Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:

$y_t^2=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\sigma_t^2 (\epsilon_t^2-1)$

Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az $y_t^2$-re felírva.

Állítás: $y_t$ átlaga 0

Biz.: legyen $Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}$, ekkor, mivel $y_t$ csak $y_{t-1}$-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:

$E \left(y_t \right) = E \left(y_t│Y_t \right) = E \left(y_t│y_{t-1} \right) = 0$

Állítás: $y_t$ korrelálatlan

Bizonyítás:

$cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} \vline Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} \vline Y_{t+h-1} \right) \right) = 0$, ha $h \neq 0$

Kiszámolhatjuk yt2 és yt4 átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk): E(y_t^2 )=α_0/(1-α_1 ) E(y_t^4 )=(3α_0^2)/(1-α_1 )^2 (1-α_1^2)/(1-3α_1^2 ) Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:

Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eo. kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.

ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re

$y_t = \sigma_t \epsilon_t$

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2+\alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2$

$y_t$ feltételes eloszlása ismét gaussi: $y_t | y_{t-1} \sim N \left(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 + \alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2\right)$

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell

Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):

Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood

az f() függvény az $y_t$ feltételes eloszlása: $N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)$

A –ln(L) minimuma fogja megadni az $\alpha_0$ és $\alpha_1$ paramétereket.