Módosítások
nincs szerkesztési összefoglaló
==A Dirac-egyenlet==
===A Dirac-egyenlet bevezetése===
Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:
A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás <math>\Psi</math> minden komponensére külön hat, majd az <math>\alpha</math> mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.
===A Dirac-egyenlet kovariáns alakja===
Szorozzuk be a Dirac-egyenlet korábban megkapott alakját a <math>\beta</math> mátrixxal és rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 legyen. Így kapjuk a Dirac-egyenlet kovariáns alakját:
<math>\left ( i \hbar \gamma^{\mu} \partial{\mu} - m \right ) \Psi = 0</math>
Ehhez bevezettük a Dirac-mátrixokat:
<math>\gamma^0 \equiv \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & \operatorname{I} \end{array} \right ) \quad \quad \gamma^i \equiv \beta \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array} \right )</math>
A komponensek kiírva:
<math>
\gamma^0 = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad
\gamma^1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>
<math>
\gamma^2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad
\gamma^3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>
A Dirac-mátrixok tulajdonságai:
* Mindegyik mátrix unitér
* <math>\gamma^0</math> hermitikus
* <math>\gamma^i</math> antihermitikusak (<math>i = 1,2,3</math>)
* fennáll az antikommutátor reláció: <math> \left \{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right \} = 2 \eta^{\mu \nu}</math>
Megjegyzés: A fenti tulajdonságok használhatóak a Dirac-mátrixok definiálására. Az összefüggések megoldása nem egyértelmű, de bármely négy mátrix, ami teljesíti a követelményeket megfelelő a fizikai leíráshoz (a mátrixok matematikailag unitér ekvivalensek, ugyanazt a fizikát írják le).
Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés: <math> \partialslash \eqiuv \gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> (itt egy áthúzott parciális d betűvel kellene jelölni a <math>\gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> szorzatot)
Definiáljuk a hullámfüggvény Dirac-konjugáltját:
<math> \overline{\Psi} \equiv \Psi^{+} \gamma^0</math>
Itt a <math>\Psi^{+}</math> transzponált azt a sorvektort jelenti, aminek az elemei <math>\Psi</math> elemeinek a komplex konjugáltjai, így a Dirac-konjugált is egy sorvektor. Ezzel bevezethetjük a Dirac-egyenlethez tartozó négyes áramsűrűséget:
<math>j^{\mu} \equiv \overline{\Psi} \gamma^{\mu} \Psi</math>
Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.
