Mintázat 4.óra

Innen: TételWiki

Bevezető

Használt jelölések:

g: gravitációs gyorsulás

\rho: sűrűség

\sigma: felületi feszültség

\nu: kinematikai viszkozitás

a: tipikus méret

U: sebesség

Folyadékdinamikát leíró fontos paraméterek, fogalmak

Reynold-szám (pl. lamináris-turbulens átmenet jellemzése áramlásoknál):

Re=\frac{Ua}{\nu} (inercia/viszkozitás)

Froude-szám (a Mach-szám folyadékdinamikai megfelelője):

Fr=\frac{U^2}{ga} (inercia/gravitáció)

Eötvös- vagy Bond- szám (cseppek, kapillárisok leírása):

Eo=\frac{\rho ga^2}{\sigma} (gravitáció/görbület)

a kapilláris hossz:

l_c=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}

Weber szám (két folyadék határfelületén lezajló jelenségek jellemzésére):

We=\frac{\rho U^2a}{\sigma} (inercia/görbület)

Kapilláris szám (porózus anyagba folyadékot préselünk):

Ca=\frac{\rho \nu U}{\sigma} (viszkozitás/görbület)

Az összes dimenziótlan szám esetén általános, hogy az egyes instabilitások létrejöttét segítő mennyiségek a számlálóban, a fékező mennyiségek pedig a nevezőben szerepelnek.

Konvektív az az instabilitás, ahol a perturbáció egy áramlási vonal mentén előrehaladva erősödik fel, de a keletkezés helyén nem, abszolút instabilitás esetén az áramlás nem tudja elmosni a zajt, helyben erősödik fel, általában globálisan megfigyelhető.

Perturbációszámítás dióhéjban

Mivel az előadáson az hangzott el, hogy csak a fő lépéseket kell tudni, ezért ezeket próbáltam meg kivonatolni:

Ha van egy egyensúlyi rendszerünk, akkor egy tetszőleges változóra (legyen ez most u) arra rárakhatunk egy időben le- vagy felcsengő, térben periódikus perturbációt:

u'=u+\tilde{u}

\tilde{u} = \varepsilon e^{\omega t+ikr}

Egy változó megperturbálása más változók perturbációját is maga után vonhatja (pl. a felület megváltoztatása okozhat nyomásváltozást), itt feltételezzük, hogy a perturbációk hasonló alakúak. Majd ezt behelyettesítjük a rendszert leíró diffegyenletekbe, csak a lineáris tagokat hagyjuk meg, ez meghatároz egy \omega(k) függvényt. Ezek után megnézzük, hogy milyen k értékek esetén kapunk pozitív \omega-t. Ezek közül is az a módus fogja dominálni a kapott mintázatot, amelyik a legnagyobb mértékben nő fel, ezt pedig deriválással könnyen meghatározhatjuk.

Az egész számolás csak akkor érvényes, amikor még kicsik a zavarok.

Ha kevés lenne, amit ide leírtam, feltételnül egészítsétek ki!!!

Határfelületi instabilitások

Plateau-Rayleigh instabilitás

Ez az instabiitás arról szól, hogy egy áramló folyadékhenger egy pontján kicsit betüremkedik a felszín, és ha ezt jó hullámhosszal csinálja, akkor a hengeren "gyöngyök" alakulnak ki. Perturbációszámítással megkapjuk a kritikus hullámhosszat, a leggyorsabban felnövő módus hullámhosszát és a henger felszakadozásához szükséges karakterisztikus időt:

\lambda_c=R_0

\lambda_c\approx 9,02 R_0

\tau=\sqrt{\frac{\rho R_0}{\sigma}}

ahol R_0 a henger sugara, \rho a sűrűsége és \sigma a felületi feszültség.

Faraday instabilitás

Vízszintes folyadékréteg felszínén vagy két folyadék határán periódikus rázás hatására állóhullámok alakulnak ki, amik a rázási fekvencia felével oszcillálnak. A rendszer paramétereinek függvényében különböző mintázatok alakulnak ki. Ha nem színuszosan rázzuk a rendszert, kváziperiódikus mintázatok alakulnak ki.

Kelvin-Helmholtz instabilitás

Kontinuum folyadékokban vagy két folyadék határán nyírás hatására megfigyelhető örvényes mintázat.

Ha nincs felületi feszültség, kis hullámhosszon mindig találunk ilyen örvényeket, a növekedési ráta a hullámhossz csökkenésével nő. Mivel a felületi feszültség stabilizál, ezért csak egy kritikus sebességgradiens fölött találunk pozitív növekedési rátát.

Az instabilitás jellemző paramétere a Richardson szám, ami a Froude szám reciproka, az instabilitás általában Ri < 0,25 esetben figyelhető meg.

Rayleigh-Taylor instabilitás

(Ide tartozik D. Sharp, Physica D-ben megjelent cikke)

Ez az instabilitás abban az esetben jön létre, amikor egy kisebb sűrűségű folyadék fölé egy nagyobb sűrűségűt rétegzünk (pl. a plafonon száradó festék, illetve forgó rendszerben történhet hasonló instabilitás). Itt egy fonots paraméter, a sűrűségkontraszt, vagy Atwood szám:

A=\frac{\rho_H-\rho_L}{\rho_H+\rho_L}

ahol \rho_H a sűrűbb, \rho_L a ritkább anyag sűrűsége. Egy k hullámhosszú harmónikus perturbáció amplitúdóját a következő egyenlet írja le:

\ddot{\eta}(t)=\alpha^2(k)\cdot \eta(t)

ahol a növekedési ráta:

\alpha^2(k)=G\left(\frac{\rho_H-\rho_L}{\rho_H+\rho_L}\right)k-\left(\frac{\sigma}{\rho_H+\rho_L}\right)k^3

Itt G a felületre merőleges gyorsulás. A felületi feszültség simító hatása miatt egy kiritkus \lambda_c hullámhossznál rövidebb perturbációk elhalnak, mert \alpha^2(k) negatív lesz:

\sqrt{\frac{\sigma}{G(\rho_H-\rho_L)}}

A \frac{\partial\alpha(k)}{\partial k}=0 feltételből pedig megkapjuk a leggyorsabban növő módust:

\lambda_{max}=\sqrt{3}\lambda_c

Ehhez hasonló a Richtmyer-Meshkov instabilitás, amikor egy lökéshullám halad át a határfelületen.

Printer instabilitás

Magyarul irányított viszkózus ujjasodás. Két egymással majdnem érintkező, párhuzamos tengelyű henger között lévő folyadék a hengerek forgásának hatására ujjas mintázatokat formál.

Áramlási instabilitások

Taylor-Couette instabilitás

Termikus instabilitások

Rayleigh-Bénard instabilitás

(Ide tartozik G. Ahlers 2003-as cikke)

Egy alulról fűtött vízszintes folyadékrétegben egy kritikus hőmérséklet-gradiens felett konvekciós mintázat alakul ki, mert a melegebb folyadék sűrűsége egy kicsit kisebb. Ez a mintázat lehet hengeres vagy hexagonális cellákból álló. Ez az instabilitás lehet stabil, létrejöhet másodlagos instabilitás, vagy előfordulhat kaotikus áramlás is.

Az istabilitási küszöböt jeléző paraméter a Rayleigh szám:

R=\frac{\alpha gd^3\Delta T}{\kappa \nu}

ahol \alpha a hőtágulás együttható, g a gravitációs gyorsulás, d a rétegvastagság, \Delta T a hőmérséklet-különbség, \kappa a hődiffúziós állandó és \nu a kinematikai viszkozitás.

Az instabilitási küszöb értéke R_c=1708, a leggyorsabban növő módus k_c=3,117.

Ebben a rendszerben másodlagos instabilitások is megfigyelhetők. Létezik egy olyan hullámszám-Reyleigh szám tartomány, ahol a hengeres áramlás stabil, ez a Busse-balloon. Ezen kívül léphetnek fel másodlagos instabilitások. Ennek jellemzésére érdemes bevezetni a Prandtl számot:

Pr = \frac{\nu}{\kappa}

Abban az esetben, ha Pr < 3 a Busse-balloon is kisebb.

A stacionárius hengeres mintázat periodicitását a rétegvastagság határozza meg.

Bénard-Marangoni instabilitás

Ez a Rayleigh-Bénard instabilitáshoz hasonlít, annyi a különbség, hogy itt a hideg felszín szabad, illetve a felületi feszültség az áramlások miatt nem homogén, így a felület is perturbálódik. Ennek a paramétere a Maragoni szám:

M=-\frac{\partial \sigma}{\partial T} \frac{\Delta T d}{\rho_0 \kappa \nu}

Az instabilitás beindulásához szükséges küszöb:

M_c\approx 80

A RB és a BM instabilitásokat összehasonlítva:

\Delta T_{BM}\sim \frac{1}{d}

\Delta T_ {RB}\sim \frac{1}{d^3}

Ami azt jelenti, hogy vékony rétegekben hamarabb megindul a Bénard-Marangoni instabilitás.

A kialakuló mintázatból nehéz megállapítani, hogy a kettő közül melyik instabilitás van jelen. A RB és a BM között az a különbség, hogy az RB esetén a felfelé áramló helyek fölött vannak "púpok" a felszínen, a BM instabilitás esetén ez fordítva van.

Gyakran a hőmérséklet-gradienst egy, a folyadék fölé helyezett szirárd laőőal stabilizálják, ilyenkor két egymás feletti réteget kell figyelembe venni.

Nem-newtoni folyadékok

A nyírási ráta:

\dot \gamma=\frac{\operatorname {d}v_x}{\operatorname{d}z}

A viszkozitás:

\eta=\frac{\sigma}{\dot\gamma}=\frac{F}{A\dot\gamma}

Newtoni folyadékok esetén a nyírási ráta függvényében lineárisan nő a feszültség a viszokozitás állandó. Azonban vannak olyan anyagok, amelyek nyírásra higulnak , azaz a nyírási ráta növelésével csökken a viszkozitásuk. Ilyenek pl. a polimeroldatok vagy a festékek. Ezekben az anyagokban nyírási sávok jelenhetnek meg. Vannak olyan anyagok is, amelyek nyírásra sűrűsödnek, azaz a nyírási ráta növelésével a viszkozitásuk is nő. Ilyen anyagok pl. a gyanták és a sűrű szuszpenziók. Vannak Bingham plasztikus anyagok, ezek egy kritius erő hatására hajlamosak csak nyíródni, utána a feszültég (ha ezt a kritikus értéke t levonjuk az értékéből) lineárisan nő a nyírási rátával. Ilyen anyag pl. a fogkrém és a majonéz. Vannak tixotróp anyagok is, ahol a nyírás hatására (állandó nyírási ráta mellett) hígul az anyag. Ennek az oka az anyag kolloid szerkezete, a nyíyrás hatására a kötések egy része felszakad. Amennyiben a nyírás megszűnik, ezek a kötések újra létrejönnek. Ilyen anyag pl. a tejföl és a ketchup.

Viszkozitásmérés

A klasszikus, Hagen-Poiseuille- törvényen alapuló viszkozitásmérés ebben az esetben nem lehetséges. Két mérési elrendezés van, amivel a nem-newtoni folyadékok viszkozitása mérhető. Az egyik, hogy két függöleges tengelyű koaxiális henger között lévő, h magasságú folyadékot a külső henger forgatásával nyírunk és a belsőre kifejtett forgatónyomatékot mérjük. Ebben az esetben a viszkozitást a következő formulával kapjuk meg:

\eta=\frac{r_{kulso}^2-r_{belso}^2}{4\pi\omega hr_{belso}^2r_{kulso}^2}M

A másik lehetőség, hogy egy vízszintes lapra egy csúcsával ráhelyezünk egy \alpha nyílásszögű, a sugarú alapkörrel rendelkező kúpot. Ekkor a viszkozitás:

\eta=\frac{3 \operatorname{tg}\theta_0}{2\pi a^3\omega}M

ahol \theta_0=\pi/2-\alpha (az ábra alapján).

Viszkoelasztikusság

Ha oszcilláló nyírást (\gamma=\gamma_0\sin(\omega t)) alkalmazunk, akkor mérhetjük a nyírási feszültséget: \sigma=\sigma_0\sin(\omega t+\delta). Ha \delta=0°, akkor az anyag rugalmas, ha\delta=90°, akkor viszkoelasztikus. Ennek oka, hogy az anyagban lévő polimermolekulák megnyúlnak és a folyadék a nyírás síkjára merőleges irányba összehúzódik. Ennek a jelenségnek a következményei:

- Viszkoelasztikus anyagba rudat helyetünk, megforgatjuk, akkor az anyag felmászik rá.

- A csőből kilépő oldat a nyíróerpők megszűnése miatt kiszélesedik

- A cseppek egy vékony csatornán keresztül kapcsolatban maradnak egymással

- A turbulens disszipáció töredékére csökkenthető.



<<<Vissza az óra nyitólapjára

Hivatkozások