„Relativitáselmélet” változatai közötti eltérés

Innen: TételWiki
(Relativisztikus kinematika és dinamika)
7. sor: 7. sor:
  
 
==Relativisztikus elektrodinamika==
 
==Relativisztikus elektrodinamika==
 +
 +
 +
==Relativisztikus kvantummechanika==
 +
 +
(ez egy külön oldal lenne, de nem sikerült egyből rájönnöm, hogy hogy kell új oldalt csinálni)
 +
 +
Ebben a részben <math>c = 1</math>
 +
 +
===A Klein-Gordon egyenlet===
 +
 +
Legyen <math>\Psi (t,\mathbf{x})</math> egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a <math>E^2 = p^2 + m^2</math> egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: <math>\mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla</math>, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: <math>E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:
 +
 +
<math> \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0</math>
 +
 +
Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan: <math> p_{\mu} p^{\mu} = m^2</math>. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: <math>p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) </math>. A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:
 +
 +
<math>\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0</math>
 +
 +
A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:
 +
 +
<math> \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}} </math>
 +
 +
Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).

A lap 2009. szeptember 12., 23:22-kori változata

Kísérleti előzmények

Matematikai alapok és fogalmak

A relativitáselmélet matematikai alapjai

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus elektrodinamika

Relativisztikus kvantummechanika

(ez egy külön oldal lenne, de nem sikerült egyből rájönnöm, hogy hogy kell új oldalt csinálni)

Ebben a részben c = 1

A Klein-Gordon egyenlet

Legyen \Psi (t,\mathbf{x}) egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a E^2 = p^2 + m^2 egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: \mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:

 \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0

Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan:  p_{\mu} p^{\mu} = m^2. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) . A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:

\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0

A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:

 \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}}

Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2} feltétel. Ez azt jelenti, hogy a k^{\mu} négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right ), így ezekre a \omega^2 = k^2 + m^2 diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).