VélFiz 1.tétel

Innen: TételWiki

1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése

Alapfeltevések

  1. A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
  2. \tau << megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
  3. Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható valószínűségi alapon.

Jelölések

  • n\Phi(\Delta)d\Delta: annak valószínűségét adja meg, hogy n darab részecske \Delta-t ugrik \tau idő alatt.
  • p(x,t)dx: annak valószínűsége, hogy t időpontban alatt x-ben van a részecske.
A Brown-mozgás szemléltetése egy dimenzióban

Einstein-féle leírás (1905)

Annak valószínűsége, hogy a részecske \tau idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:

p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta
Az egyenlet jobb oldalának első tagja annak valószínűsége, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy \tau idő múlva éppen arrébbmegy egy bármekkora \Delta ugrással másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valamekkora \Delta távolságról éppen \Delta-t ugorva megérkezik \tau idő múlva.
Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik integráljel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek \Delta-tól, ekkor:
p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta
És mivel \int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1 (hiszen \Phi(\Delta)d\Delta annak valószínűségét adja meg, hogy egy részecske \Delta-t ugrik \tau idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy \Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)), ennek következtében a bal oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:


p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta Chapman-Kolmogorov egyenlet

A fenti egyenletet \tau-ban és \Delta-ban sorbafejtjük, az alábbiak szerint:

p(x,t+\tau) = p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t} \tau + ...

p(x-\Delta,t) = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \Delta + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \Delta^2

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont \overline{\Delta} értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük \overline{\Delta^2}-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:


\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}

Ám \overline{\Delta} értéke nulla, mivel a \Phi(\Delta) függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}

\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a diffúziós egyenlet általános alakját, mely:

\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)} Dinamikai egyenlet a valószínűség időbeni változására (más néven a Fokker-Planck egyenlet).

Becslés a diffúziós együttható értékére

D = \frac{\overline{\Delta^2}}{\tau} \approx \frac{10^{-12} m^2}{1 s} = 10^{-12} \frac{m^2}{s}

A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése

A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha p(x,t = 0) = \delta(x) akkor ebből a megoldás:

p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}} (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján <x^2> értékére az alábbi összefüggés születik, ahol \lambda-t konstansnak várjuk:

<x^2> = \lambda Dt = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx=\frac{4Dt}{\sqrt{\pi}}{\int\limits_{-\infty}^\infty y^2 e^{-y^2}dy}

az utolsó egyelőségnél változó helyettesítés történt: y = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}

Az integrál értéke innen\frac{\sqrt{\pi}}{2} így: <x^2> = 2Dt (azaz \lambda = 2)

Sodródás

A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: \Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta

\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}

(\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}: mikroszkopikus hossz, \tau: mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. A fenti egyenlet jobb oldalán az első tag önmagában egy driftet ír le: \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}, ahol v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}

Driftelő "csomag"

Például: p(x,t) = \tilde{p}(x-vt). A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: -v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}

Viszont érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha ezt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre és közben szétterjed:

\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}

Bevezetve a \tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t) átalakítást az egyenlet a következőképpen módosul:

-v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y} Innen:

\tilde{p}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{y^2}{4Dt}} --> p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(x-vt)^2}{4Dt}}

Driftelő és szétterjedő "csomag"