Relativisztikus kinematika és dinamika forrásának megtekintése

===Pontrészecske pályájának a leírása===

Egy pontrészecske mozgását egy inerciarendszerből nézve megadhatjuk annak a pályáját (azaz a 4-es helyvektort) valamilyen paraméter függvényében. Az egyik legegyszerűbb választásnak tűnik, hogyha a részecske koordinátáit az inerciarendszerbeli idő függvényében adjuk meg. Sok esetben hasznosabb viszont, ha a koordinátákat az eltelt sajátidő függvényében adjuk meg (azaz a <math>x^{\mu} (\tau)</math> függvényt adjuk meg), ami a geometriában a görbék ívhossz szerinti paraméterezésének felel meg (az sajátidő az ívhosszal arányos).


A részecske sebességénél egy adott rendszerből nézve megadhatjuk az abban a rendszerben mért sebességet (a koordináták idő szerinti deriváltját), ez az adott rendszerben jellemzi a mozgást. (Az idő egy négyesvektor komponense, így minden rendszerben más, így az idő szerinti deriválás eredménye nem lesz négyesvektor.)
Hasznos bevezetni a részecske 4-es sebességét, ami a helykoordinátáknak a sajátidő szerinti deriváltja:

<math>u^{\mu} = \frac{\operatorname{d} x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau}</math>

Mivel a hely négyesvektor és a sajátidő skalár, ezért a négyessebesség is 4-esvektor lesz, viszont a komponensei nem mérhetőek közvetlenül, a szokásos sebességméréssel a klasszikus mechanikában megszokott hármas sebességet tudjuk mérni. Kihasználva a sajátidőre vonatkozó <math>\operatorname{d} \tau = \operatorname{d} t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math> összefüggést, a négyessebesség komponensei kifejezhetőek a mérhető hármas sebességgel:

<math>u = \left ( \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } }, \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } \right )</math>

Itt <math>\mathbf{v}</math> a hármas sebesség (a helykoordináták idő szerinti deriváltja a megfigyelő inerciarendszerében).

A négyessebesség abszolútértéke:
<math>u_{\mu} u^{\mu} = \frac{c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2} } - \frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = c^2</math>


Érdemes még definiálni a négyes gyorsulást is, amit a négyessebesség további (sajátidő szerinti) deriválásával kapunk:

<math>a^{\mu} = \frac{\operatorname{d} u^{\mu}}{\operatorname{d} \tau} = \frac{\operatorname{d}^2 x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau^2}</math>

A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a <math>a_{\mu} u^{\mu} = 0</math> összefüggés is.

===Egyenletesen gyorsuló mozgás===

(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)


==Dinamika, részecskék ütközése==

===Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás===

A nemrelativisztikus esethez hasonlón bevezetjük a részecskék négyesimpulzusát:

<math>p^{\mu} = m u^{\mu} = \left ( \frac{m c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right ) = \left ( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right )</math>

Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az <math>m^* = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő <math>m</math> tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó <math> \mathbf{p} = m^* \mathbf{v}</math> képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy <math>m^*</math> is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő <math>v^2</math>-et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő <math>m</math> mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem <math>1</math>, így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.

A négyesimpulzus abszolútértéknégyzete (kihasználva, hogy a négyessebességé <math>c^2</math>):

<math>p_{\mu} p^{\mu} = \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2</math>

Ezt az összefüggést átalakítva, az energia és impulzus (illetve a sebesség) közötti összefüggéseket kapjuk:

<math>E = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}</math>

Álló részecskére a híres <math>E = m c^2</math> képlet adódik. Abban az esetben, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest nagyon kicsi, az energia sebességtől függését adó képletet sorbafejthetjük:

<math>E \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2</math>

Az összeg első tagja az olyan reakciókban, amik nem járnak a részecskék átalakulásával, állandó, így klasszikusan nem mérhető, a második tag a klasszikus mechanikából ismert mozgási energia.

A klasszikus mechanika energia- és impulzusmegmaradási tételéhez hasonlóan a négyesimpulzus megmaradó mennyiség; egy zárt rendszer teljes négyesimpulzusa megmarad. Ez azt jelenti, hogyha egy rögzített inerciarendszerből nézünk egy eseményt, akkor a négyesimpulzus mindegyik komponense megmarad. Természetesen, ha áttérünk egy másik inerciarendszerbe, a négyesimpulzus komponenseit egy Lorentz-transzformációval kell áttranszformálni (így a komponensek transzformálódnak, egy rendszer energiája a különböző mozgó koordinátarendszerekből nézve nem ugyanaz), az viszont igaz, hogy a négyesimpulzus abszolútértéke (a részecske vagy rendszer nyugalmi tömege) minden inerciarendszerből nézve ugyanaz.

===Részecskék ütközése===

Ebben a szakaszban a négyesimpulzus megmaradásából következő összefüggéseket vizsgáljuk. Természetesen egy ilyen folyamat teljes leírásához ismernünk kellene a részecskék között ható kölcsönhatásokat, itt csak azt vizsgáljuk meg, hogy mi következik csak az impulzusmegmaradásból, a részecskék közötti kölcsönhatást csak az ütközési pont kis környezetére korlátozva (a részleteket elhanyagolva).

Rugalmas ütközésről akkor beszélhetünk, ha az ütközés után kijövő részecskék megegyeznek a bemenő részecskékkel (nem játszódik le például magreakció), így a nyugalmi tömegek nem változnak.
(itt sok nagy képlet van a jegyzetemben, amiknek nincs igazán szemléletes jelentése)

Rugalmatlan ütközésnél a kijövő részecskék mások lehetnek (részecskék annihilálódhatnak, és új részecskék keletkezhetnek), így a nyugalmi tömegek is változnak. A legegyszerűbb eset az, amikor egy részecske elbomlik két másikra. Az eseményt a bomló részecske nyugalmi rendszeréből nézve, a kezdeti négyesimpulzus:

<math>p = \left ( M, 0, 0, 0 \right ) </math>

A bomlástermékek impulzusa:

<math>p_{(1)} = \left ( E_1, \mathbf{p}_1 \right ) \quad p_{(2)} = \left ( E_2, \mathbf{p}_2 \right ) </math>

A négyesimpulzus megmaradását felírva:

<math>
\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \quad
M = E_1 + E_2
</math>

Legyen a bomlástermékek nyugalmi tömege <math>m_1</math> és <math>m_2</math>. A négyesimpulzus korábbi bevezetéséből látszik, hogy <math>m_1 < E_1</math> és <math>m_2 < E_2</math>, ezt a négyesimpulzus megmaradásával összevetve látszik, hogy a bomlás feltétele, hogy a <math>M > m_1 + m_2</math> egyenlőtlenség teljesüljön, ami azt is jelenti, hogy a klasszikus értelemben vett tömeg nem marad meg, úgy lehet értelmezni, hogy egy része a bomlástermékek mozgási energiájává alakul (egy atomerőműben ebből keletkezik a hő, amit felhasználnak). A hármas impulzus megmaradására vonatkozó egyenletet négyzetre emelve és a <math>p^2 = E^2 - m^2</math> egyenlőséget kihasználva az <math>m_1^2 - m_2^2 = E_1^2 - E_2^2 = (E_1 + E_2) (E_1 - E_2)</math> összefüggést kapjuk, ahonnan az energiamegmaradásra vonatkozó egyenlőség felhasználásával az energiák kifejezhetőek:

<math>
E_1 = \frac{m_1^2 - m_2^2 + M^2}{2 M} \quad
E_2 = \frac{m_2^2 - m_1^2 + M^2}{2 M} </math>

Ez a tömegközépponti rendszerben érvényes, ha a bomló részecske a labor koordinátarendszeréhez képest mozgott, akkor egy Lorentz-transzformáció kell végezni, és a végeredményben az energia a szórási szögtől is függ.

Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes  impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: <math> M = \sqrt{p_{\mu} p^{\mu}}</math>. Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló (<math>m_2</math> tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy <math>m_1</math> tömegű, <math>E_1</math> energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): <math>p = \left ( E_1 + m_2, \mathbf{p_1} \right )</math>. Kihasználva, hogy <math>p_1^2 = E_1^2 - m_1^2</math> adódik, hogy:
<math>M = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 E_1 m_2}</math>. Ha a kísérleteket <math> 1 \, \mathrm{GeV}</math> tömegű protonokkal végezzük, <math> 7 \, \mathrm{TeV}</math> nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben <math>M=118 \, \mathrm{GeV}</math> adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető <math>14 \, \mathrm{TeV}</math>-nek.