Módosítások
→A Dirac-egyenlet kovariáns alakja
Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.
Felmerül a kérdés, hogy <math>\Psi</math> oszlopvektor hogyan transzformálódik egy Lorentz-transzformációt végezve. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy <math>\Psi</math> nem egy négyesvektor (csak "véletlenül" van pont négy komponense), így nem lehet összeszorozni egy Lorentz-mátrixxal. Lehetne gondolni, hogyha <math>\Psi</math>-nek semmi köze sincs a négyesvektorokhoz, akkor nem transzformálódik, de ez sem igaz; minden <math>\Lambda</math> Lorentz-transzformációhoz létezik egy <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right )</math> <math>4 \times 4</math>-es mátrix, ami a hullámfüggvény komponenseit transzformálja a mátrixszorzás szabályai szerint:
<math> \Psi' (x'^{\mu}) = \Psi' \left ( \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \Psi (x^{\mu})</math>
A Dirac-egyenlet transzformálásánál belátható összefüggések:
* Az egységmátrixnak megfelelő transzformáció az egységmátrix: <math>\operatorname{R} \left ( \operatorname{I} \right ) = 1</math>
* A transzformációk szorzása "asszociatív": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \Lambda_{(2)} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \right ) \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(2)} \right )</math>
* Az inverz "bevihető": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda^{-1} \right ) = \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right )</math>
* Feltehetjük, hogy a Dirac-mátrixok nem transzformálódnak (belátható, hogy választhatóak így)
* A deriválás operátor négyesvektorként transzformálódik: <math>\partial'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\nu} \partial_{\nu}</math>
Ezekből levezethető a transzformációs mátrixot meghatározó egyenlet:
<math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \gamma^{\nu} \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right ) = \gamma^{\mu} \Lambda_{\mu}^{\nu}</math>
Ennek a megoldásaként (ami nem teljesen triviális, ezért itt mellőzzük) megkaphatnánk a hullámfüggvényt transzformáló mátrixot.
Megjegyzés: Ha csoportelméleti megfontolásokból indulunk ki, akkor azt kapjuk, hogy a négykomponensű hullámfüggvény, illetve a négyesvektorok a Lorentz-transzformációk csoportjának a különböző ábrázolásaihoz tartozó objektumok, a transzformációkra általános módszer adható, amiből a Lorentz-mátrixokat és a hullámfüggvényt transzformáló mátrixokat is meg lehet kapni.
===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===
