|
|
| (6 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) |
| 7. sor: |
7. sor: |
| | | | |
| | ==Relativisztikus elektrodinamika== | | ==Relativisztikus elektrodinamika== |
| − | | + | [[Relativisztikus elektrodinamika]] |
| | | | |
| | ==Relativisztikus kvantummechanika== | | ==Relativisztikus kvantummechanika== |
| − | | + | [[Relativisztikus kvantummechanika]] |
| − | (ez egy külön oldal lenne, de nem sikerült egyből rájönnöm, hogy hogy kell új oldalt csinálni)
| |
| − | | |
| − | Ebben a részben <math>c = 1</math>
| |
| − | | |
| − | ===A Klein-Gordon egyenlet===
| |
| − | | |
| − | Legyen <math>\Psi (t,\mathbf{x})</math> egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a <math>E^2 = p^2 + m^2</math> egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: <math>\mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla</math>, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: <math>E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:
| |
| − | | |
| − | <math> \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0</math>
| |
| − | | |
| − | Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan: <math> p_{\mu} p^{\mu} = m^2</math>. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: <math>p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) </math>. A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:
| |
| − | | |
| − | <math>\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0</math>
| |
| − | | |
| − | A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:
| |
| − | | |
| − | <math> \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}} </math>
| |
| − | | |
| − | Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).
| |
