Módosítások
→A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai
<math> \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0</math>
Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm1</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:
<math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }</math>
<math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>
A fenti megoldásban van még két szabad paraméter, az <math>u</math> vektor komponensei. Ez azt fejezi ki, hogy a részecske spinjének az iránya még nincs meghatározva. A spinoperátor:
<math>\hat{\operatorname{s}}_i = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cc} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \end{array} \right )</math>
Vezessük be a helicitásoperátort:
<math>\hat{\Lambda}_s = \sum_{i=1}^3 \hat{\operatorname{s}}_i \frac{\hat{\operatorname{p}}_i}{|p|}</math>
Ez a spinnek az impulzus irányára vett vetületét adja meg. Válasszuk meg az <math>u</math> vektort úgy, hogy a helicitásoperátor sajátvektora legyen. Tekintsünk egy, a <math>z</math> tengely irányába mozgó részecskét, ekkor a helicitásoperátor:
<math>\hat{\Lambda}_s = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cc} \sigma_z & 0 \\ 0 & \sigma_z \end{array} \right ) = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right )</math>
A sajátértékek: <math> \pm \frac{\hbar}{2}</math>
A sajátvektorok:
<math> \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )</math>
A teljes megoldás így:
<math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda, + 1/2} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} \\ 0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }
\quad \quad
\Psi_{\mathbf{p}, \lambda, - 1/2} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }
</math>
A normálás ekkor:
<math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda, s}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda', s'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta_{s,s'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>
