Képlettár

Innen: TételWiki

Megj. Lent minden fejezetcím egyben link is, amely mögött gyakran tételhez mutató linket találtok (amik nincsenek ezen a lapon felsorolva).

Newton II

\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{I}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt} = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt}

Gravitációs törvény

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Erők gyorsuló koordináta rendszerben

F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^{\prime}

Az első korrekciós tag az egyenes gyorsulásnál is fellépett transzlációs tag, a második a centrifugális erő, a harmadik a Coriolis-erő, a negyedik az Euler-erő.

t és x Lorentz transzformációja

t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad


x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad


Tömeghéj feltétel

\begin{align}E^2 = p^2c^2+m^2c^4\end{align}

Kanonikus egyenletek

\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}
\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}

Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora

E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots

\mathcal{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}\hat{x}^2.

Léptető operátorok

 a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right)


 a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right)


[a,a^\dagger]=1\,

Doppler effektus

mozgó forrás:

f=f_0\frac{c}{c-v}

mozgó észlelő:

f=f_0\frac{c + v}{c}

Archimedes törvénye

F_{fel}=V_{ki}\rho_{foly}g_{grav}\,

Bernoulli egyenlet

p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=C

Euler egyenlet

Az Euler-egyenlet az ideális folyadék mozgásegyenlete:

\varrho\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = - \nabla p - \varrho \nabla \Phi.

\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\textbf{v} \nabla) \textbf{v}.

Navier-Stokes

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \mathbf{f} -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v}  + (\mu+\nu) \nabla(\nabla\mathbf{v})

Termodinamika főtételei

  • A=B,\;\;B=C\;\rightarrow\;A=C


  • \mathrm{d}U=\delta Q+ \delta W \,


  • \delta S \geq 0\,


  • c_v(T \rightarrow 0)\rightarrow 0\,

Ideális gáz, Van der Waals gáz állapotegyenlete

\qquad\qquad p V = n R T

Bővebben: Egyesített gáztörvény


\left( p + \frac{n^2 a}{V^2}\right)\left(V-nb \right) = nRT

Bővebben: Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok

Fundamentális egyenlet

dS = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}dE+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}dV+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}dN = \frac{dE}{T} + \frac{p}{T} dV+ \frac{\mu}{T} dN\,

Euler összefüggés

Ha A(\mathbf{r}) homogén függvény, azaz

A(\lambda\mathbf{r}) = \lambda^{\alpha}A(\mathbf{r}),

ahol \alpha a homogenitási fok, akkor

(\mathbf{r}\nabla)A(\mathbf{r}) = \alpha A(\mathbf{r}).

A termodinamikában \alpha = 1 általában, például az S(E,V,N) függvénynél.

Gibbs-Duhem reláció

 \sum_{i=1}^I N_i\,\mathrm{d}\mu_i  =  - S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p \,

Maxwell-egyenletek (integrális, differenciális)

Az egyenletek összegzése

Maxwell négy egyenlete a következőket írja le,

  • 1. Az elektromos tér forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, melyek a negatív töltéseken végződnek. (Gauss-törvény)
  • 2. A mágneses indukció változása elektromos teret indukál, melynek iránya ellenkező mint az őt létrehozó változás. (A Lenz-törvény és Faraday indukciós törvényének egyesítése)
  • 3. A mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. (Gauss mágneses törvénye),
  • 4. Az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre. (Ampère-törvény)


A makroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés Sorszám Differenciális alak Integrális alak
Gauss-törvény I. \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_A  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV = {Q}
Faraday-Lenz-törvény II. \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_A   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Gauss mágneses törvénye
III. \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Ampère-törvény
IV. \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_A \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}



Jelölés Név SI mértékegység
\mathbf{E} elektromos térerősség volt per méter:  \frac{V}{m}
\mathbf{H} mágneses térerősség amper per méter:  \frac{A}{m}
\mathbf{D} elektromos indukció amperszekundum per négyzetméter:  \frac{A\cdot s}{m^2}
\mathbf{B} mágneses indukció Voltszekundum per négyzetméter vagy tesla:  \frac{V\cdot s}{m^2} =T
\ {Q} \ elektromos töltés amperszekundum vagy coulomb:  A\cdot s=C
\mathbf{J} áramsűrűség amper per négyzetméter:  \frac{A}{m^2}
\ \rho \ elektromos töltéssűrűség coulomb per köbméter:  \frac{C}{m^3}

Ponttöltés, dipól potenciálja

Ponttöltés potenciálja:

\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{Q}{r}.

Dipól potenciálja:

\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{\mathbf{pr}}{r^3}.

Coulomb törvény

\mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{|\mathbf{r}|^3} \cdot \mathbf{r}.

D-E összefüggése

\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}

B-H összefüggése

\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}

Biot-Savart törvény

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}

Lorentz-erő

\mathbf{F}=q[\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})]

Kontinuitási egyenlet (j-re, m-re)

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} (\rho \vec{v})=0


\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} \vec{j}=0


Hullám egyenlet

\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi

Snellius-Descartes törvény

\frac{\operatorname{sin} \theta_1}{\operatorname{sin} \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}

Eikonál egyenlet

\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^2 = c(\mathbf{r})^2 \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}}\right)^2,

\varphi(\mathbf{r}, t) az eikonál.

Leképezési törvény

\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}

Schrödinger egyenlet (időfüggő, időfüggetlen)

általában

\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi


spec eset: nem függ az időtől

\hat{H}\Psi=E \Psi

Határozatlansági relációk

Általánosan

\Delta O_1 \Delta O_2 \geq \frac{1}{2}|\overline{[\mathbf{O}_1,\mathbf{O}_2]}|

Néhány fontosabb spec. eset:

\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}
\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}


Pauli egyenlet

\left \{ \frac{1}{2m}\left[\boldsymbol{\hat{\sigma}} \cdot (\mathbf{\hat{p}}-Q\mathbf{A})\right]^2 + Q\Phi \right \} \boldsymbol{\Psi} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}.

\boldsymbol{\hat{\sigma}}\, a Pauli-mátrixokból képzett vektor;

\mathbf{\hat{p}}\, az impulzus;

\mathbf{A}\, a vektorpotenciál;

\Phi\, a skalárpotenciál;

Q\, a részecske töltése, m\, a tömege.

A Pauli-mátrixok a kételemű hullámfüggvényspinor elemeire hatnak.

Félempirikus kötési formula

A kötési energia:

E_{\text{kot}} = \underbrace{a_{\text{V}}A}_{\text{terfogati tag}}-\underbrace{a_{\text{S}}A^{\frac{2}{3}}}_{\text{feluleti tag}}-\underbrace{a_{\text{C}}\frac{Z(Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}}}_{\text{Coulomb-tag}}-\underbrace{a_{\text{A}}\frac{(A-2Z)^2}{A}}_{\text{szimmetriatag}} + \underbrace{\delta(A,Z)}_{\text{parkh.-i tag}}.

Curie-Weiss törvény


\chi = \frac{C}{T - T_{c}}

Bragg egyenlet

2d\,\sin\vartheta=n\lambda

Diffúziós egyenlet

\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial x^2}

Langevin egyenlet

m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}

Master egyenlet

\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t)

Friedmann egyenletek

H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}
\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} =  -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}