Képlettár

Megj. Lent minden fejezetcím egyben link is, amely mögött gyakran tételhez mutató linket találtok (amik nincsenek ezen a lapon felsorolva).

Newton II

$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{I}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt} = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt}$

Gravitációs törvény

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Erők gyorsuló koordináta rendszerben

$F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^{\prime}$

Az első korrekciós tag az egyenes gyorsulásnál is fellépett transzlációs tag, a második a centrifugális erő, a harmadik a Coriolis-erő, a negyedik az Euler-erő.

t és x Lorentz transzformációja

$t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad$

$x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad$

Tömeghéj feltétel

$\begin{align}E^2 = p^2c^2+m^2c^4\end{align}$

Kanonikus egyenletek

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$

Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora

$E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots$

$\mathcal{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}\hat{x}^2.$

Léptető operátorok

$a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right)$

$a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right)$

$[a,a^\dagger]=1\,$

Doppler effektus

mozgó forrás:

$f=f_0\frac{c}{c-v}$

mozgó észlelő:

$f=f_0\frac{c + v}{c}$

Archimedes törvénye

$F_{fel}=V_{ki}\rho_{foly}g_{grav}\,$

Bernoulli egyenlet

$p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=C$

Euler egyenlet

Az Euler-egyenlet az ideális folyadék mozgásegyenlete:

$\varrho\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = - \nabla p - \varrho \nabla \Phi.$

$\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\textbf{v} \nabla) \textbf{v}.$

Navier-Stokes

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \mathbf{f} -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v} + (\mu+\nu) \nabla(\nabla\mathbf{v})$

Termodinamika főtételei

• $A=B,\;\;B=C\;\rightarrow\;A=C$

• $\mathrm{d}U=\delta Q+ \delta W \,$

• $\delta S \geq 0\,$

• $c_v(T \rightarrow 0)\rightarrow 0\,$

Ideális gáz, Van der Waals gáz állapotegyenlete

$\qquad\qquad p V = n R T$

Bővebben: Egyesített gáztörvény

$\left( p + \frac{n^2 a}{V^2}\right)\left(V-nb \right) = nRT$

Bővebben: Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok

Fundamentális egyenlet

$dS = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}dE+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}dV+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}dN = \frac{dE}{T} + \frac{p}{T} dV+ \frac{\mu}{T} dN\,$

Euler összefüggés

Ha $A(\mathbf{r})$ homogén függvény, azaz

$A(\lambda\mathbf{r}) = \lambda^{\alpha}A(\mathbf{r}),$

ahol $\alpha$ a homogenitási fok, akkor

$(\mathbf{r}\nabla)A(\mathbf{r}) = \alpha A(\mathbf{r}).$

A termodinamikában $\alpha = 1$ általában, például az $S(E,V,N)$ függvénynél.

Gibbs-Duhem reláció

$\sum_{i=1}^I N_i\,\mathrm{d}\mu_i = - S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p \,$

Maxwell-egyenletek (integrális, differenciális)

Az egyenletek összegzése

Maxwell négy egyenlete a következőket írja le,

• 1. Az elektromos tér forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, melyek a negatív töltéseken végződnek. (Gauss-törvény)
• 2. A mágneses indukció változása elektromos teret indukál, melynek iránya ellenkező mint az őt létrehozó változás. (A Lenz-törvény és Faraday indukciós törvényének egyesítése)
• 3. A mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. (Gauss mágneses törvénye),
• 4. Az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre. (Ampère-törvény)

A makroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés	Sorszám	Differenciális alak	Integrális alak
Gauss-törvény	I.	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV = {Q}$
Faraday-Lenz-törvény	II.	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Gauss mágneses törvénye	III.	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Ampère-törvény	IV.	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_A \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

Jelölés	Név	SI mértékegység
$\mathbf{E}$	elektromos térerősség	volt per méter: $\frac{V}{m}$
$\mathbf{H}$	mágneses térerősség	amper per méter: $\frac{A}{m}$
$\mathbf{D}$	elektromos indukció	amperszekundum per négyzetméter: $\frac{A\cdot s}{m^2}$
$\mathbf{B}$	mágneses indukció	Voltszekundum per négyzetméter vagy tesla: $\frac{V\cdot s}{m^2} =T$
$\ {Q} \$	elektromos töltés	amperszekundum vagy coulomb: $A\cdot s=C$
$\mathbf{J}$	áramsűrűség	amper per négyzetméter: $\frac{A}{m^2}$
$\ \rho \$	elektromos töltéssűrűség	coulomb per köbméter: $\frac{C}{m^3}$

Ponttöltés, dipól potenciálja

Ponttöltés potenciálja:

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{Q}{r}.$

Dipól potenciálja:

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{\mathbf{pr}}{r^3}.$

Coulomb törvény

$\mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{|\mathbf{r}|^3} \cdot \mathbf{r}$.

D-E összefüggése

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}$

B-H összefüggése

$\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$

Biot-Savart törvény

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}$

Lorentz-erő

$\mathbf{F}=q[\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})]$

Kontinuitási egyenlet (j-re, m-re)

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} (\rho \vec{v})=0$

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} \vec{j}=0$

Hullám egyenlet

$\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi$

Snellius-Descartes törvény

$\frac{\operatorname{sin} \theta_1}{\operatorname{sin} \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$

Eikonál egyenlet

$\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^2 = c(\mathbf{r})^2 \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}}\right)^2,$

$\varphi(\mathbf{r}, t)$ az eikonál.

Leképezési törvény

$\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}$

Schrödinger egyenlet (időfüggő, időfüggetlen)

általában

$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi$

spec eset: nem függ az időtől

$\hat{H}\Psi=E \Psi$

Határozatlansági relációk

Általánosan

$\Delta O_1 \Delta O_2 \geq \frac{1}{2}|\overline{[\mathbf{O}_1,\mathbf{O}_2]}|$

Néhány fontosabb spec. eset:

$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}$

$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$

Pauli egyenlet

$\left \{ \frac{1}{2m}\left[\boldsymbol{\hat{\sigma}} \cdot (\mathbf{\hat{p}}-Q\mathbf{A})\right]^2 + Q\Phi \right \} \boldsymbol{\Psi} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}.$

$\boldsymbol{\hat{\sigma}}\,$ a Pauli-mátrixokból képzett vektor;

$\mathbf{\hat{p}}\,$ az impulzus;

$\mathbf{A}\,$ a vektorpotenciál;

$\Phi\,$ a skalárpotenciál;

$Q\,$ a részecske töltése, $m\,$ a tömege.

A Pauli-mátrixok a kételemű hullámfüggvényspinor elemeire hatnak.

Félempirikus kötési formula

A kötési energia:

$E_{\text{kot}} = \underbrace{a_{\text{V}}A}_{\text{terfogati tag}}-\underbrace{a_{\text{S}}A^{\frac{2}{3}}}_{\text{feluleti tag}}-\underbrace{a_{\text{C}}\frac{Z(Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}}}_{\text{Coulomb-tag}}-\underbrace{a_{\text{A}}\frac{(A-2Z)^2}{A}}_{\text{szimmetriatag}} + \underbrace{\delta(A,Z)}_{\text{parkh.-i tag}}.$

Curie-Weiss törvény

$\chi = \frac{C}{T - T_{c}}$

Bragg egyenlet

$2d\,\sin\vartheta=n\lambda$

Diffúziós egyenlet

$\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial x^2}$

Langevin egyenlet

$m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}$

Master egyenlet

$\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t)$

Friedmann egyenletek

$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$

$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$