Sztochasztikus folyamatok '12
Az alábbiakban néhány véletlenszerű folyamatot és ezek leírási módszereit tárgyaljuk.
Kauffman-hálózat
Egyes a természetben előforduló folyamat-hálózatoknak a modellezésére egy igen végletekig egyszerűsített megközelítés is hasznos kiindulási pontot szolgáltathat. A Kauffman-hálózat (vagy más néven Boolean-hálózat) nem más, mint egy gráf, melyben irányított élek vannak, és a csomópontokban csak két féle érték engedett meg (pl. 0/1 vagy +1/-1). A csomópontokban ezeken a bináris értékeken értelmezett függvények vannak, amelyek minden időlépésben a befutó élek által összekapcsolt csomópontok értékeiből (és esetleg az aktuálisból) előállítanak egy előre meghatározott szabály szerint egy új értéket, és azt beírják az aktuális csomópontba. A rendszert diszkrét időlépésekben fejlesztjük.
Kauffman először az élőlények genetikai tartalmának kifejeződését vizsgálta a sejtek különböző differenciáltságán: a különböző funkciójú sejtek a különböző gének működésének hatására alakulnak ki, Kauffman modelljében ezeknek a gráfdinamika határciklusai felelnek meg. Később az ilyen alapú modellek számos más bonyolult, az élőlényekkel kapcsolatos problémában sikerrel kerültek alkalmazásra, egyetlen másik példát hozva a neurális hálózatok egyszerűbb, könyebben kezelhető modelljei is ilyen alapúak.
Ez a modell számos érdekes folyamatot mutat: vannak kaotikus és reguláris mintázatok is benne. A rendszer azért sztochasztikus, mert a gráfban a kapcsolatokat és a csúcsokhoz rendelt időléptetési függvényeket véletlenszerűen osztjuk ki. Ilyen függvények tipikusan az egyszerű logikai függvényke lehetnek: OR, XOR, AND, vagy véletlenszerű, stb...
Ha csomópont van a gráfban, akkor a rendszer állapottere , ezért az időfejlődésben legfeljebb ennyi különböző helyzetben lehet a rendszer, igen gyakran azonban rövidebb ciklusok is előfordulnak, illetve léteznek fixpont atraktorok, amik több különböző kiindulási értékből/kiotszásból is ugyanabba a helyzetbe, vagy ciklusba vezetik a rendszert.
Egy ilyen egyszerűsített modellben nyilván nem a rendszer különböző állapotainak van lényegi jelentése, hanem a változásokra adott válaszainak, a robosztusságnak (hibatűrés, külső hatások kivédése), közeli állapotokból való szétfejlődés sebessége. Ha a rendszer állapotai között bevezetjük a Hamming-távolságot, ami a különböző állapotú elemek számát jelöli, akkor van egy mérőszámunk, amivel az információ vesztést, vagy akár egy skalárisszorzat jellegű mennyiséget is definiálhatunk. Ez utóbbinak a hosszú idejű határértéke rendparaméterként váalsztja el a kaotikus és a rendezett viselkedésű rendszer állapotokat. Ezt a kritikus pontot is hatvány függvények jellemzik számos válasz függvény viselkedésében, például az attraktorok számában, vagy az átlagos határciklus-hosszban.
Példaként, a határciklus-hossz egy fontos, a valóságban is meghatározható mennyiség lehet: ha ez túl nagy, akkor az élőlény életideje alatt nem alaulhatnak ki a megfelelő stabil dinamikai struktúrák (Kauffman esetében a különböző differenciáltságú sejtek): éppen ez a helyzet a kaotikus tartományban. A másik végletként a túlságosan fix (befagyott) állapot sem jó, ugyanis nem tudja biztosítani az evolúcióshoz szükséges változóképességet. Ezért Kauffmann azt a javaslatot tette, hogy az élő rendszerek valójában a káosz szélén működnek, azaz profitálnka bizonyos mértékben a stabilitásból és a változékonyságból is.
Konkrétan az élesztő sejt osztódásának Kauffman-modellje teljesen jól adja vissza a gének és a fehérjék aktiválódási sorrendjét összevetve a kísérletekkel, hasonló összekötöttséget és kritikus közeli paramétereket reprodukálva.
Tehát bináris hálózat: véletlen irányított gráf -> kontroll elemek; csúcsokhoz véletlen bináris függvény; léptetés szinkron vagy aszinkron; minden lépésben a rendszer a dimenziós fázistér egy pontjában.
Hamming távolság:
Normált Hamming távolság: .
Ha információvesztés történik, nem nyerhető vissza a kezdőállapot, ha kisebb mint 1, a rendszer "emlékszik", hogy a két különböző kezdeti állapot eltér.
Két egymás közeléből indított trajektória távolsága: , ahol a Lyapunov exponens. Ha a rendszer kaotikus, ha kisebb mint 0, befagyott, ha 0, kritikus állapotban.
N(csúcsok száma)-K(kontroll elemek, bejövő élek száma egy csúcsban) modellben , így . Így K > 2 állapot kaotikus, K < 2 befagyott, és K=2 kritikus.
Spinüvegek
Közismert, hogyha mágneses momentumokat (spineket) akarunk elhelyezni egy háromszögrácson, antiferromágneses csatolás mellett, akkor az frusztrált lesz: például egy háromszög két csúcsára leteszünk ellenkező beállással 1-1 spint, akkor a harmadiknak nincs optimális beállása.
A spinüvegekben hasonló frusztrációk vannak, rendezetlen rácson. Úgy lehet elképzelni, hogy a spinek véletlenszerű helyeken, véletlenszerű (ferro- vagy antiferromágneses) kölcsönhatásokkal vannak összekötve. Ennek eredményeképpen a külső térre adott válaszuk igen bonyolult, számos különböző időskálán zajlik. A leírásuk is igen nehézkes. Az egyetlen anailitikus megoldással rendelkező modellben (Sherrington-Kirkpatrick) a spinek között a szokásos Hamilton írja le a kölcsönhatást:
de egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással, pedig az adott spinre kapcsolt külső tér. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.
A fázisteret két paraméterrel lehet felmérni: a csatolás relatív szórásával (a fenti Gauss szórása osztva az átlaggal) valamint a csatolás szórásának és a hőmérsékleti energiának (kT) az arányával. Ezen a diagrammon a spinüveg fázis akkor jön létre, amikor a csatolás erősebb a hőmérsékleti fluktuációknál, de a relatív szórása nagy (Megyjegyzés: az ábra vízszintes tengelyén a relatív szórás reciproka van: az átlag osztva a szórással).
A rendszerben megfigyelhető egy másodrendű fázisátalakulás a -ban, valamint minden alacsonyabb hőmérséklethez is tartozik egy olyan mágneses tér, amelynél a spiüveg fázisból átlépünk az antiferromágneses fázisba. Ezt a térblei vonalat nevezzük Almeida-Thouless vonalnak.
A rendszer érdekessége hogy fázistere erősen "göcsörtös", a spinüveg fázisban az alapállapotok és az alacsonyan fekvő gerjesztett állapotok degeneráltsága magas, így sok különálló fázistérbeli völgy alakul ki. Ennek következtében a kezdőfeltételekben, a külső térben, vagy a hőmérsékletben bekövetkezett infinitezimális változás is eltérő fázistérbeli trajektóriákhoz vezethet (nolám káosz). Bár a hőmérsékleti káoszt még vitatja a szakirodalom.
Markov-lánc, Markov-folyamatok
Egy sztochasztikus folyamatot jellemezhetünk azzal, hogy diszkrét időpillanatokban a tekintett valószínűségi változó milyen értékeket vett fel. Egy rendszert akkor tekintünk leírtnak, ha meg tudjuk mondani minden időpillanatra, minden értékre a megfelelő valószínűségeket:
ahol a leírni kívánt lépések száma. Mivel ez egy valószínűség, ezért minden változójára kiintegrálva 1-et kell kapnunk, ez a norma-feltétel. Ezen felül, ha csak egy x változóra integrálunk, akkor az eggyel kisebb "rendű" valószínűségi kifejezést kell kapnunk:
Tehát ha az egyik mintavételi időpontban minden lehetséges kimenetelre integrálunk, akkor olyan, mintha azt a pontot nem vennénk figyelembe. Ez a kompatibilitási feltétel.
A rendszer jövőbeli állapotainak valószínűségét a korábbi, ismert állapotokból szeretnénk meghatározni. Ennek megfelelően ezt egy feltételes valószínűséggel fogalmazhatjuk meg:
azaz, ha ismert a rendszer vislkedése pillanatokban, akkor emellett a feltétel mellett milyen valószínűséggel lesz -ben állapotban. Egy folyamat akkor Markov-folyamat, ha rendelkezik a Markov-tulajdonsággal, ami azt mondja, hogy a rendszer csak a legutóbbi állpotától függ:
Ebből következik, hogyha 1 pontban ismert a Markov-folyamat, valamint az átmeneti valószínűségek, akkor teljes rendszer ismert, mert rekurzívan minden következő (vagy megelőző) állapot felírható az átmeneti valószínűségekkel:
Például ha egy diffúziós-folyamatot szeretnénk leírni, akkor az átmeneti valószínűség Gauss:
Homogénnek nevezzük a Markov-folyamatot, ha az átmeneti valószínűég időeltolás-invariáns:
Homogén diffúziós folyamatokra eben a kontextusban is levezethető a Fokker-Planck-egyenlet, ami lényegében a valószínűség-áramsűrűség megmaradását fejezi ki:
Brown-mozgás
Esetleg meg lehet említeni/felírni a Brown-mozgást, mint példát diszkrét Markov-folyamatra
Lásd még a Transzportfolyamatok '12 tétel végét.