Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés '12

Dinamikai rendszerek elmélete

A dinamikai rendszerek elmélete csatolt differenciálegyenletek tulajdonságával foglalkozik, amiknek az időfejlődését néhány paraméter határozza meg. A rendszer időfejlődésének vizsgálata a paraméterek állapotterében zajlik.

Alapfogalmak

Fixpont és határciklus

Fixpontnak azt nevezzük, amikor a rendszer hosszú idő után a fázistér egy pontjában található meg. A fixpont lehet stabil (kis kitérésre visszatér), és instabil (kis kitérésre nem tér vissza). A határciklus a fázistérben egy zárt trajektória, amin a rendszer az idő előrehaladtával körbejár. Szintén lehet stabil vagy instabil.

Bifurkáció

Bifurkációról akkor beszélünk, amikor egy külső paraméter hatására a rendszer hosszú távú viselkedése kvalitatívan megváltozik (pl.: 1 fixpont → 2 fixpont, fixpont → határciklus, stb.)

Poincaré-metszet

A rendszer időfejlődését, főleg ha az d>3 dimenziós, nagyon nehéz grafikusan ábrázolni. Ezért a fázistérnek és egy síknak a metszetét vizsgáljuk. Ha egy közel periodikus pálya metszi a síkot (a fázistér egy alterét), akkor egy periódusidő múlva újra metszeni fogja, közel az előző ponthoz. Belátható, hogy egy pálya akkor periodikus, ha a Poincaré-metszetnek fixpontja.

Ljapunov-exponens

A Ljapunov-exponenssel az számszerűsíthetjük, hogy a fázistérben két közeli trajektória milyen gyorsan távolodik egymástól. Ha kezdetben $\delta Z_0$ távolságra voltak, akkor az időben a távolságuk $|\delta Z_0(t)| \approx e^{\lambda t}|\delta Z_0|$ szerint növekszik.

Attraktor

A fázistér vonzó halmaza, vagyis olyan halmaza, amely felé a trajektóriák közelednek. Disszipatív rendszerekben fordulnak elő, fázistérfogatuk zérus.

Intermittencia

Ez azt jelenti, hogy bizonyos paraméter értékeknél a kaotikus tartományban is sokáig szabályosan viselkedik a rendszer , majd visszavált kaotikussá.

A logisztikus leképezés

A logisztikus leképezés a kaotikus rendszerek állatorvosi lova. Tulajdonképpen egy egyszerű populációdinamikai modell, a farkasok és a nyulak populációjának esetére. A függvény a fázistér (nyulak és farkasok populációja) egy Poincaré-mettszetét adja. A leképezést a következőképpen definiáljuk:

$x_{n+1}=r*x_n(1-x_n)$ vagy $F(x)=r*x(1-x)$

A rendszer érdekessége hogy r értékének megválasztásától függően változatos, (ki gondolná) kaotikus viselkedést mutat.

Ha $r<1=r_1$, akkor minden kezdőállapotból indítva $x_n$ -> 0 , ez a rendszer egyedüli fixpontja (x_1^*). Ha r-et 1 fölé növeljük, akkor megjelenik egy másik fixpont is: $x_2^*=\frac{r-1}{r}$, és ezzel egyidőben $x_1^*$ instabillá válik. Egyszerűen kiszámítható, hogy van olyan $r_2(=3)$, hogy $r>r_2$ értékekre $x_2*$ is instabil lesz. Ekkor azonban a leképezés második iteráltjának ($F^{(2)}(x) = F(F(x))$) megjelenik két stabil fixpontja ( $x_3^*$, $x_4^*$). Az attraktort ez a két fixpont fogja alkotni, és mivel $x_3^*=F(x_4^*)$ és $x_4^*=F(x_3^*)$ ezért a nyulak száma két éves periódussal oszcillálni fog. Ezt a változást az időfejlődésben - azaz a periódusidő hirtelen 1 év 2 év átmenetét - nevezzük bifurkációnak.r-et tovább növelve egyre nagyobb periódushosszú lesz az attraktor ($2^k\rightarrow 2^{k+1}$), végül egy kritikus $r_{\infty}\approx3.5699$ értéknél ez a hossz divergál: a rendszer kaotikus lesz. Ez a bifurkáció sorozat a kaotikussá válás egyik leggyakrabban előforduló módja és Feigenbaum-szekvenciának nevezik.

Determinisztikus káosz

Az egyszerű, kevés összetevőből álló rendszerek szabálytalan mozgását kaotikusnak nevezzük. Jellemzői:

• nem ismétli önmagát
• nem jelezhető előre, mert érzékeny a kezdőfeltételekre, melyeket véges pontossággal ismerünk
• a visszatérési szabály bonyolult geometriájú (pl.: hely-sebesség ábrázolásban egy komplex, de szabályos szerkezet jelenik meg)

A valós folyamatok leírásában (egyszerű rendszerekre, pl.: kettős inga) fel tudjuk írni a rendszert mozgató differenciálegyenleteket, viszont a kezdőfeltételeket csak valamekkora hibával ismerjük. Mivel a kaotikus mozgás hibaerősítő, a mozgást a rövid előrejelzési időn túl követve a bizonytalanság eléri az egész attraktor méretét. Az ilyen mozgás tehát előre jelezhetetlen,rendszerint a fázistér fraktálalakzataihoz kötött, és hosszú távú leírása egy időfüggetlen valószínűségeloszlással lehetséges.

A legismertebb példája a determinisztikus káosznak a logisztikus leképzés. Ezt nem differenciálegyenlettel írjuk le, hanem a másik lehetséges módon, leképezés formában, ami a következő: $x_{n+1} = r\,x_n(1-x_n)$. Az x változó a [0:1] tartományon értelmezhető, az r paraméter pedig [0:4] lehet. A leképezést populációdinamikai modellekben szokták használni, ahol x a populáció hányada a teljes lehetséges populációhoz, az r pedig a szaporodási és a pusztulási ráta kombinációja. Az x_n sorozat viselkedését az r paraméter határozza meg. Ha r<3, akkor 1 fixpont van, ha 3<r<3.4, akkor 2 fixpont van, stb. Hogy melyik r értéknél milyen viselkedést tapasztalunk, a bifurkációs diagramról olvashatjuk le. Még több a logisztikus leképezésről itt.

Káosz disszipatív rendszerekben

Disszipatív rendszerről akkor beszélünk, amikor a rendszer energiája súrlódás hatására folyamatosan csökken. Ha nem tudjuk a rendszerünket egy mechanikai rendszernek megfeleltetni, akkoronnan vehetjük észre a disszipációt, hogy a fázistérben a fázistérfogat csökken (nullához tart). Az egyik legegyszerűbb példa disszipatív rendszerre a súrlódásos matematikai inga:

$\ddot{\Phi} + \gamma \dot{\Phi} + \omega_0^2 sin \Phi = 0$

Az egyenletet fel lehet írni két elsőrendű, csatolt differenciálegyenletbe az $x = \Phi$ és az $y = \dot{\Phi}$ helyettesítéssel:

$\dot{x} = y$

$\dot{y} = -\gamma y - \omega_0^2 sin x$

A fázistérfogat változását az alábbi egyenlet határozza meg:

$\frac{\Delta\dot{V}}{\Delta x \Delta y} = \frac{\Delta \dot{x}}{\Delta x} + \frac{\Delta \dot{y}}{\Delta y} = \vec{\nabla} \cdot \dot{\vec{x}}$

A disszipációt tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy $\vec{\nabla} \cdot \dot{\vec{x}} < 0$

Hosszú idő elteltével a disszipáció egyedüli hatásként oda vezet, hogy a rendszer beáll egy infinitezinális pontba a fázistérben. Ha más hatás is van, az bizonyos irányokban ezt ellensúlyozhatja. Példa erre a Naprendszer(-ek) kialakulása: az összesűrűsödő porfelhő kezdetben gömbszimmetrikusan húzódik össze, azonban mivel csökken a tehetetlensége, forgása (ami kicsi mindig van a fluktuációk miatt) felgyorsul a perdületmegmaradás miatt. A növekvő sűrűség miatt azonban a surlódás (elemi rugalmatlan ütközések rátája) is nő, ezért egyre erősebb disszipáció lesz jellemző. A forgás és a disszipáció együtt oda vezet, hogy a fázitérfogatcsökkenés leghamarabb a forgás által kijelölt tengely mentén megy végbe, mert itt nincsenek ezt ellensúlyozó erőhatások. Ennek eredményeképpen jönnek létre a protoplanetáris korongok. Ez a tulajdonság általánosabb érvényű: a disszipáció redukálja a fázistér elérhető dimenzióinak számát.

Diffúzió

A determinisztikus diffúziót megfigyelhetjük a lökdösött rotátoron. Ez egy olyan rotátor, ami T időnként hirtelen impulzust kap (a lökés amplitúdója általában a hely periodikus függvénye, pl.: f(x) = a*sin x). A lökések amplitúdója bármilyen értéket felvehet a (-a,a) intervallumban, a sebesség változás ezért véletlen bolyongásnak fog megfelelni ($v_{n+1} = v_n +a sin(x_{n+1})\,$, ezért $-\infty < v_n < \infty$). A sebességtengely 2$\pi$ hosszúságú intervallumán nagy számú pontot indítva azt tapasztaljuk, hogy azok a v_n tengely mentén egyre jobban szétterjednek. A kaotikus dinamika tehát egy diffúziós folyamatot hozott létre.

A bolyongás során egy részecske koordinátája az i-edik lépésben éppen $r_i = a\,sin(x_{i+1})$-gyel változik meg. Ha r_i-k függetlennek tekinthetők, akkor az átlag elmozdulás $\bar{R_n} = \bar{\Sigma r_i} = 0$, a négyzetes átlagos elmozdulás pedig $\bar{R_n^2}$. A függetlenség miatt igaz, hogy $\bar{R_n^2} = \bar{r_i^2}n$. A bolyongás diffúziós együtthatóját a $\bar{R_n^2} = 2Dn$ képletből kifejezhetjük: $D = \bar{r_i^2}/2$. Behelyettesítve r_i értékét: $D = \frac{1}{4}a^2$.

Mindebből tehát azt szűrhetjük le, hogy a determinisztikus eredetű mozgás elegendően hosszú idő alatt pont olyan folyamatot képes létrehozni, mint valamilyen külső zaj. Ez annak a megnyilvánulása, hogy a káosz véletlenszerű mozgást jelent, és ez jól definiált valószínűség-eloszlással jellemezhető. A diffúzió tehát arra nem érzékeny, hogy a bolyongást kiváltó hatás milyen eredetű.

Zajjal kölcsönható rendszerek

Ha egy egyébként determinisztikus rendszerhez egy külső zajt csatolunk, akkor azt áltlaánosan sztochsztikus rendszernek is nevezhetjük. Ezek számos helyen felbukkanhatnak, amikor bizonyos a rendszert érő hatásokat nem tudunk, vagy nem akarunk zárt alakban csatolni a leírásunkhoz, hanem csak valószínűségi változóként akarjuk a hatásukat figyelembe venni.

Sztochasztikus szökés

Tekintsünk egy részecskét, amely egy potenciál metastabil állapotában van, tehát létezik alacsonyabb állapotú helyzete, de azt egy potenciálgát miatt nem éri el. Ha erre a rendszerre egy külső zajforrást kapcsolunk, akkor ez bizonyos valószínűséggel fedezni tudja a gát legyőzéséhez szükséges energiakülönbséget, ezáltal a részecske el tudja hagyni a metastabil állapotot. Nem meglepő, hogy a metastabil potenciálgödröt harmonikus formában közelítve a szökés valószínűségére:

$P \propto \mathrm{e}^{-\beta \Delta V}$

ahol $\beta \propto 1 / A$, ahol A a külső zaj amplitudója, $\Delta V$ a potenciál gát magassága.

Sztochasztikus rezonancia

Tekintsünk egy két minimumú potenciálgödröt, amelyben mozgó részecskére zaj is hat, továbbá a potenciál minimumait perturbáljuk meg egy adott frekvenciájú amplitudóval. A zaj legyen olyan erős, hogy idnként át tudja lökni a rendszert egyik minimumból a másikba.

Amikor a zaj hatására történő minimum váltás tipikus periódusideje egyezik a perturbáció periódusidejével, akkor rezonancia lép fel: a külső zaj és a perturbáció hatására a részecske mindig el tud jutni az optimálisabb helyzetbe és periódusideje követi a potenciál változásának periódusát. Túl alcsony zajszintnél a rendszer beragad az egyik minimumba, túl magas zajszintnél elnyomja a külső gerjesztés hatását.

Hasonló folyamattal magyarázható esetleg a jégkorszakok közti változás: mind az eljegesedett, mind a jégmentes állapot stabil lenne (a plussz hő vagy elnyelődik az óceánokban, vagy visszaverődik a hóról), de a beeső sugárzás perioikusan változhat a Föld pályaelemeinek változásával, így előállhat a fenti időnként átbeillenő folyamat.