Soktest rendszerek

Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a Transzportfolyamatok tételben kerülnek kifejtésre.

Soktestrendszerek kontinuum leírása

Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent sűrűségfüggvényekkel (ill. másnéven eloszlásfüggvényekkel) kifejezni. A súrúségfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad, speciálisan, ha $N$ részecskénk van a teljes vizsgált térben, akkor:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.$

A sűrűségfüggvény megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a Liouville-egyenlet:

$\frac{d f}{dt}= \frac{\partial f}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\dot{q}^i +\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$

Itt $i$ indexeli az $n$ darab részecskét. Itt $q$ a kanonikus koordináta, $p$ a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}.$

Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén.