„Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel” változatai közötti eltérés
a |
|||
2. sor: | 2. sor: | ||
==Lineáris válasz-elmélet== | ==Lineáris válasz-elmélet== | ||
+ | Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy <math>t_0 \,</math> időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy <math>t\,</math> időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja <math>\mathcal{H}_0\,</math> és a kölcsönhatást leíró Hamilton <math>\mathcal{H}_I\,</math>, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül. | ||
+ | |||
+ | A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség sokaságátlaga <math>t\,</math> időpontban: | ||
+ | |||
+ | :<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = Tr( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))</math> | ||
+ | |||
+ | ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben: | ||
+ | |||
+ | :<math>i\hbar \frac{dU}{dt} = [U, \mathcal{H}_0]</math> | ||
+ | |||
+ | Ennek a megoldása <math>U\,</math>-ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy: | ||
+ | |||
+ | :<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math> | ||
+ | |||
+ | Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer termikus egyensúlyban volt: <math>\rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,</math>, továbbá a külső perturbációja legyen <math>-A \cdot f(t)\,</math> alakú, ahol <math>A\,</math> a perturbáló mennyiség operátora, <math>f(t)\,</math> pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk: | ||
+ | |||
+ | :<math><X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)</math> | ||
+ | |||
+ | Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbéstől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát: | ||
+ | |||
+ | :<math><X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \chi(t-\tau) f(\tau)</math> | ||
+ | |||
+ | ahol: | ||
+ | |||
+ | :<math>\chi(t) = \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]</math> | ||
+ | |||
+ | a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény. | ||
+ | |||
+ | |||
==Korrelációs függvények== | ==Korrelációs függvények== |
A lap 2011. június 11., 18:23-kori változata
Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.
Tartalomjegyzék
Lineáris válasz-elmélet
Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.
A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja és a kölcsönhatást leíró Hamilton , valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.
A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, -val. Egy mennyiség sokaságátlaga időpontban:
ahol az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését -ból -be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:
Ennek a megoldása -ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:
Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer termikus egyensúlyban volt: , továbbá a külső perturbációja legyen alakú, ahol a perturbáló mennyiség operátora, pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:
Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbéstől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:
ahol:
a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény.