Soktest rendszerek

Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a Transzportfolyamatok tételben kerülnek kifejtésre.

Klasszikus sokrészecskerendszerek leírása

Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a $d^3 p d^3 r$ fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.$

Ezzel szemben az általános N részecske-eloszlásfüggvény:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_1 \, d^3 \vec{p}_1 ... \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_N \, d^3 \vec{p}_N f(\vec{r}_1, \vec{p}_1, ..., \vec{r}_N, \vec{p}_N, t) \, .$

A Liouville-egyenlet

Az eloszlásfüggvények megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a Liouville-egyenlet, amely az N részecske-eloszlásfüggvényre vonatkozik:

$\frac{d f}{dt}= \frac{\partial f}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\dot{q}^i +\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$

Itt $i$ indexeli az $n$ darab részecskét, $q$ a kanonikus koordináta, $p$ a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}.$

Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén. Speciálisan 1 klasszikus részecskére az egyenlet:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\vec{p}}{m}\cdot\nabla_\vec{r}f+\vec{F}\cdot \nabla_\vec{p} f=0.$

Molekula dinamika

Nagyon nagy vonalakban csak arról van szó, hogy a Liouville-egyenletet tekintjük úgy, hogy a deriváltakat a Newton-féle erőtörvény adja.

A Boltzmann-egyenlet

A Boltzmann-egyenlet Boltzmann-egyenlet az előzőekkel szemben az egyrészecske-eloszlásfüggvényre vonatkozó mozgásegyenletet adja meg. Alapvetően ez is a fázistérfogat megmaradására épít, amely külső erőhatás esetén ütközések nélkül:

$f(\vec{r},\vec{p},t)\,d\vec{r}\,d\vec{p} - f(\vec{r}+\frac{\vec{p}}{m}\,dt,\vec{p}+\vec{F}\,dt,t+dt)\,d\vec{r}\,d\vec{p} = 0,$

A jobboldal az eloszlásfüggvény teljes deriváltja ha $d\vec{r} d \vec{p}$ infinitezimális. Ha ütközések is vannak, azok a jobboldalra írhatóak. Ezekkel együtt a Boltzmann-egyenlet:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m} \nabla_\vec{r} f + \vec{F} \nabla_\vec{p} f = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.$

Azaz az ütközési tagtól eltekintve visszakaptuk a Liouville-egyenlet fenti speciális esetét. Boltzmann nagy eredménye az volt, hogy az ütközési tagra is tudott jól használható feltevést tenni az egyrészecske-eloszlásfüggvényekkel kifejezve. Ez a molekuláris káosz feltevés, amely arra épül, hogy a részecskék sebességei korrelálatlanok az ütközés előtt és után, továbbá függetlenek a helytől. Ennek a segítségével az ütközési tag:

$\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int d\Omega \int \, d\vec{p}_2 \, \sigma(\Omega) \, |\vec{p}_1 - \vec{p}_2| (f'_1 f'_2 - f_1 f_2)$

ahol az 1, 2 indexek az egyik és másik részecske adatait indexelik, a vesszőtlen menyiségek az ütközés előtti, a vesszősek az ütközés utániakat jelölik, $\Omega$ a relatív sebességek megváltozási szöge, $\sigma$ az ütközési hatáskeresztmetszet.

A Vlasov-egyenlet

Vlasov szerint a Boltzmann-féle kinetikus leírás nem jó hosszútávú kölcsönhatásokkal csatolt sokrészecskerendszerek leírására (ő az elektromos plazma leírására használta, de nyilván a gravitáció is hasonló problémákat vet fel). Egyrészt eleoktronszórásos kísérletekkel való ellentmondás, másrészt a plazmaoszcillációkkal való ellentmondás, harmadrészt a kinetikus tagok divergenciái miatt fellépő problémák miatt egy másik kinetikus leírást keresett, amely a Boltzmann-egyenletek és a Maxwell-egyenletek csatolásával leírná az elektronok és a pozitív töltés atomtörzsek egymásrahatását.

Bár az irodalom erősen keveri az elnevezéseket, de úgy fest, hogy a Vlasov-egyenlet nem más, mint a Boltzmann-egyenlet ütközési tag nélkül, és az erőhatás az elektromágneses hatásokból származik, csatolva a Maxwell-egyenletekkel:

$\frac{\partial f_{\pm}}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m_{\pm}} \cdot \nabla_{\vec{r}} f_{\pm} \pm e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}(\vec{v}\times\vec{B})\Bigr)\cdot \nabla_{\vec{p}} f_{\pm} = 0$

$\nabla\times\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad \nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

$\nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho,\quad \nabla\cdot\vec{B}=0$

$\rho=e\int(f_+-f_-)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_+-f_-)\vec{v}d^3\vec{p}$

Itt "+" a pozitív töltésű, "-" a negatív töltésű részecskék paramétereit indexeli.