„A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer” változatai közötti eltérés
8. sor: | 8. sor: | ||
Ha a rendszer elérte az egyensúlyi állapotát, mérhetővé válnak a termodinamikai változók (hőmérséklet, nyomás, hőkapacitás, stb.) | Ha a rendszer elérte az egyensúlyi állapotát, mérhetővé válnak a termodinamikai változók (hőmérséklet, nyomás, hőkapacitás, stb.) | ||
+ | |||
+ | ===Fizikai mennyiségek mérése a szimulációkban=== | ||
+ | ====Pillanatnyi hőmérséklet==== | ||
+ | Bár azt mondtuk, hogy a rendszert az egyensúlyi állapotában vizsgáljuk, a nem egyensúlyi állapotban is bevezethetünk egy ''pillanatnyi hőmérsékletnek'' nevezett mennyiséget. Termikus egyensúlyban igaz az ekvipartíció: | ||
+ | |||
+ | <math>3(N-1) \cdot \frac{1}{2}k_BT = \left \langle \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 \right \rangle</math>, | ||
+ | |||
+ | ahol 3(N-1) a szabadsági fokok száma (a TKP 3 koordinátája van levonva). A nem egyensúlyi helyzetben, bár nem igaz az ekvipartíció, ezt a képletet alkalmazhatjuk a hőmérséklet meghatározására. | ||
+ | |||
+ | ====Teljes energia==== | ||
+ | <math>E = \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 + \sum_{i \neq j} U(|r_i - r_j|)</math> | ||
+ | |||
+ | ====Hőkapacitás==== | ||
+ | Fluktuáció-disszipáció tétel alapján: | ||
+ | |||
+ | <math>C_V = \frac{1}{k_BT^2}[\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2]</math> | ||
+ | |||
+ | ====Nyomás==== | ||
+ | A nyomást a viriál-tétel segítségével fejezhetjük ki: | ||
+ | |||
+ | <math>pV = Nk_BT + \frac{1}{3} \left \langle \sum_{i<j} r_{ij} \cdot F_{ij} \right \rangle</math> | ||
===Verlet-algoritmus=== | ===Verlet-algoritmus=== | ||
27. sor: | 48. sor: | ||
Megoldás: velocity-Verlet algoritmus: | Megoldás: velocity-Verlet algoritmus: | ||
+ | |||
+ | <math>R_{n+1} = R_n + \tau V_n + \frac{\tau^2}{2} A_n + O(\tau^3)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_{n+1} = V_n + \frac{\tau}{2} (A_{n+1} + A_n) + O(\tau^3)</math> | ||
+ | |||
* R-ben már csak <math>O(\tau^3)</math> pontosságú | * R-ben már csak <math>O(\tau^3)</math> pontosságú | ||
* ez már nem 2 előző lépést használ | * ez már nem 2 előző lépést használ |
A lap 2011. június 11., 15:09-kori változata
Tartalomjegyzék
Statisztikus fizikai szimulációk alapjai
Molekuladinamika
A molekuladinamika a részecskék mikroszkopikus dinamikájának követésével foglalkozik. Valódi rendszerben 1023 nagyságrendű részecske van, ezt a mai számítógépekkel szimulálni lehetetlen. Azonban ennél kevesebb részecskét is elég szimulálnunk ahhoz, hogy a termodinamikai tulajdonságokat vizsgálhassuk. A szimulációkban a párkölcsönhatásokat vesszük figyelembe, ám lehetséges közelítéseket tenni. A részecskék közt a Van der Waals erő hat, ami elég gyorsan lecseng, így távoli részecskék közt elhanyagolható (ezen a pontot különbözik a molekuladinamika és a gravitációs N-test szimuláció, ahol az 1/r2-es erő miatt nem hanyagolható el a kölcsönhatás).
A szimulációban van tehát N darab részecske, melyekre a Newton-törvények alapján kiszámítjuk a rájuk ható erőt, majd léptetjük a rendszert. Mivel a kezdőállapotokat általában nem a termodinamikai egyensúlyból indítjuk, meg kell várni, hogy a rendszer beálljon abba. Hogy mikor állt be, azt az ekvipartíció segítségével mutathatjuk ki:
Ha a rendszer elérte az egyensúlyi állapotát, mérhetővé válnak a termodinamikai változók (hőmérséklet, nyomás, hőkapacitás, stb.)
Fizikai mennyiségek mérése a szimulációkban
Pillanatnyi hőmérséklet
Bár azt mondtuk, hogy a rendszert az egyensúlyi állapotában vizsgáljuk, a nem egyensúlyi állapotban is bevezethetünk egy pillanatnyi hőmérsékletnek nevezett mennyiséget. Termikus egyensúlyban igaz az ekvipartíció:
,
ahol 3(N-1) a szabadsági fokok száma (a TKP 3 koordinátája van levonva). A nem egyensúlyi helyzetben, bár nem igaz az ekvipartíció, ezt a képletet alkalmazhatjuk a hőmérséklet meghatározására.
Teljes energia
Hőkapacitás
Fluktuáció-disszipáció tétel alapján:
Nyomás
A nyomást a viriál-tétel segítségével fejezhetjük ki:
Verlet-algoritmus
Molekuladinamikai szimulációkban legtöbbször a Verlet-algoritmust használják a diffegyenletek megoldására. A Runge-Kuttával szemben több előnye van:
- gyorsabb, mert egy lépésben csak egyszer kell a gyorsulásokat számolni
- majdnem olyan pontos, mint a RK4 (
)
- jól megőrzi az energiát
- időtükrözésre nem változik (ez a részleges egyensúly feltétele miatt fontos)
A Verlet-algoritmus egy lépése (R(t) a koordináták, V(t) a sebességek, A(t) a gyorsulások):
Hátrányai:
- két előző lépést használ, így nem indítható 1 kezdeti feltételből
- a sebesség és a pozíció nem egyszerre frissítődik, a sebesség "le van maradva"
Megoldás: velocity-Verlet algoritmus:
- R-ben már csak
pontosságú
- ez már nem 2 előző lépést használ
- koordináták és sebességek egyszerre frissülnek
- sebesség is
pontosságú
A Metropolis algoritmus
A Metropolis algoritmussal a statisztikus fizikai rendszer energiaminimumát találhatjuk meg, ahogy azt a szimulált hőkezelés témakörében is láttuk. Az algoritmus a következő:
- Induljunk ki egy A konfigurációból, aminek tudjuk az EA energiáját.
- Változtassunk a rendszeren, hogy egy A-hoz közeli B konfigurációt kapjunk. Számoljuk ki a konfiguráció EB energiáját.
- Ha EB < EA, fogadjuk el ezt az új konfigurációt (így a Boltzmann-faktornak is eleget teszünk).
- Ha EB > EA, az új állapotot
valószínűséggel elfogadjuk.
A hőmérséklet folyamatos csökkentésével az algoritmus bekonvergál az energiaminimumba.
A Monte-Carlo módszer
A Monte-Carlo módszernek nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek a problémákat random számok és valószínűségek felhasználásával oldják meg. Az eljárás során ismétlődően kiértékelünk egy determinisztikus modellt, random számokat használva inputnak. Akkor használják, ha a feladat nagyon összetett, nemlineáris, vagy nagyon sok paramétertől függ.
Használata:
- Állítsuk föl a modellt: y = f(x1, x2, ..., xq)
- Generáljunk random számokat inputnak: xi1, xi2, ..., xiq
- Értékeljük ki a modellt, az eredményt tároljuk el yi-ben
- Ismételjük a 2. és 3. lépéseket n-szer
- Elemezzük az eredményeket hisztogram, összesítő statisztikák, stb. segítségével