„Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel” változatai közötti eltérés
a (→Lineáris válasz-elmélet) |
|||
9. sor: | 9. sor: | ||
A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) <math>t\,</math> időpontban: | A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) <math>t\,</math> időpontban: | ||
− | :<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = Tr( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,</math> | + | :<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = \mathrm{Tr}( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,</math> |
ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben: | ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben: | ||
32. sor: | 32. sor: | ||
a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény. | a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény. | ||
+ | |||
+ | ===Kölcsönható kvantumos sokrészecskerendszer esete=== | ||
+ | Ha sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ, ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kifejezése milyen, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Eredményül azt kapjuk, hogy: | ||
+ | |||
+ | :<math><X> = <X>_0 + \int_{0}^\beta d\tau \left[ \langle A(\tau)X \rangle_0 - \langle X \rangle_0 \langle A \rangle_0 \right] f</math> | ||
+ | |||
+ | Itt az <math>f\,</math>-et szorzó integrál <math>\chi_{AB}\,</math>, az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy <math>\beta\,</math> szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel. | ||
+ | |||
===Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek=== | ===Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek=== | ||
A lap 2011. június 11., 21:32-kori változata
Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.
Tartalomjegyzék
Lineáris válasz-elmélet
Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.
A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja és a kölcsönhatást leíró Hamilton , valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.
A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, -val. Egy mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) időpontban:
ahol az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését -ból -be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:
Ennek a megoldása -ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:
Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: , továbbá a külső perturbációja legyen alakú, ahol a perturbáló mennyiség operátora, pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:
Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:
ahol:
a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény.
Kölcsönható kvantumos sokrészecskerendszer esete
Ha sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ, ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kifejezése milyen, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Eredményül azt kapjuk, hogy:
Itt az -et szorzó integrál , az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel.
Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek
Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció és a perturbáció amplitudója a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre:
Korrelációs függvények
Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például:
Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott .
Fluktuáció-disszipáció tétel
A korrelációs-függvény és a lineáris válaszfüggvény között a Fourier-térben egyszerű alakú kapcsolat áll fent:
A korrelációs függvény az egyensúlyi fluktuációkat jellemzi, míg a lineáris válaszfüggvény képzetes része a rendszer irreverzibilis megváltozását (pl. disszipáció) jellemzi, amiközben törekszik az egyensúly felé.
Klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy:
ahol a klasszikusság feltétele, hogy a rendszer átmenetei sokkal kisebb energiájúak legyenek, mint a hőmérsékleti fluktuációk jellemző energiái:
Ez a kapcsolat azést is fontos, mert a korrelációs-függvények aránylag könnyen mérhetők (pl: neutron-szórás kísérletek a nukleon-nukleon sűrűség korrelációs függvénnyel arányosak) ezáltal pedig megkaphatjuk a válaszfüggvény képzetes részét is. Magát a válszfüggvényt teljes egészében előállíthatjuk csupán a képzetes rész ismeretéből.
Kramers–Kronig-reláció
Matematikailag a Kramers–Kronig-reláció kapcsolatot teremt egy komplex függvény képzetes és valós része között, amennyiben a függvény analitikus a felső félsíkban. Fizikai rendszerek válaszfüggvényeinél a kauzalitás miatt ez a feltétel teljesül. A lineáris válszfüggvény Fourier-transzformáltja egy komplex mennyiség, írjuk fel tehát komplex alakban:
Ekkor a Kramers–Kronig-relációk:
és:
és a főérték integrált jelöli.