Sztochasztikus folyamatok

Az alábbiakban néhány véletlenszerű folyamatot és ezek leírási módszereit tárgyaljuk.

Spinüvegek

Közismert, hogyha mágneses momentumokat (spineket) akarunk elhelyezni egy háromszögrácson, antiferromágneses csatolás mellett, akkor az frusztrált lesz: például egy háromszög két csúcsára leteszünk ellenkező beállással 1-1 spint, akkor a harmadiknak nincs optimális beállása.

A spinüvegekben hasonló frusztrációk vannak, rendezetlen rácson. Úgy lehet elképzelni, hogy a spinek véletlenszerű helyeken, véletlenszerű (ferro- vagy antiferromágneses) kölcsönhatásokkal vannak összekötve. Ennek eredményeképpen a külső térre adott válaszuk igen bonyolult, számos különböző időskálán zajlik. A leírásuk is igen nehézkes.

Egy konkrét gyakran használt modellben, a Sherrington-Kirkpatrick modellben a spinek között a szokásos Hamilton írja le a kölcsönhatást:

$\mathcal{H} = -\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j$

de $J$ egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.

A fázisteret két paraméterrel lehet felmérni: a csatolás relatív szórásával (a fenti Gauss átlaga osztva a szórásával) valamint a csatolás szórásának és a hőmérsékleti energiának (kT) az arányával. Ezen a diagrammon a spinüveg fázis akkor jön létre, amikor a csatolás erősebb a hőmérsékleti fluktuációknál, de a relatív szórása igen nagy.

Markov-lánc, Markov-folyamatok

Egy sztochasztikus folyamatot jellemezhetünk azzal, hogy diszkrét időpillanatokban a tekintett valószínűségi változó milyen értékeket vett fel. Egy rendszert akkor tekintünk leírtnak, ha meg tudjuk mondani minden időpillanatra, minden értékre a megfelelő valószínűségeket:

$P_n\left(x_1, t_1, x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right)dx_1 dx_2 ... dx_n$

ahol $n$ a leírni kívánt lépések száma. Mivel ez egy valószínűség, ezért minden $x$ változójára kiintegrálva 1-et kell kapnunk, ez a norma-feltétel. Ezen felül, ha csak egy x változóra integrálunk, akkor az eggyel kisebb "rendű" valószínűségi kifejezést kell kapnunk:

$\int P_n\left(x_1, t_1, x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right)dx_1 = P_{n-1}\left(x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right)$

Tehát ha az egyik mintavételi időpontban minden lehetséges kimenetelre integrálunk, akkor olyan, mintha azt a pontot nem vennénk figyelembe. Ez a kompatibilitási feltétel.

Markov-folyamatoknál a rendszer jövőbeli állapotainak valószínűségét a korábbi, ismert állapotokból szeretnénk meghatározni. Ennek megfelelően ezt egy feltételes valószínűséggel fogalmazhatjuk meg:

$P\left(x_1, t_1|x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right)$

azaz, ha ismert a rendszer vislkedése $t_2, ...., t_n$ pillanatokban, akkor emellett a feltétel mellett milyen valószínűséggel lesz $t_1$-ben $x_1$ állapotban. Egy folyamat akkor Markov-folyamat, ha rendelkezik a Markov-tulajdonsággal, ami azt mondja, hogy a rendszer csak a legutóbbi állpotától függ:

$P\left(x_1, t_1|x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right) = P\left(x_1, t_1|x_2, t_2\right)$

Ebből következik, hogyha 1 pontban ismert a Markov-folyamat, valamint az átmeneti valószínűségek, akkor teljes rendszer ismert, mert rekurzívan minden következő (vagy megelőző) állapot felírható az átmeneti valószínűségekkel:

$P_n = w P_{n-1} = w^2 P_{n-2} = ... = w^n P_1(x_n, t_n)\,$

Például ha egy diffúziós-folyamatot szeretnénk leírni, akkor az átmeneti valószínűség Gauss:

$w(x, t+s|x', t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(x', t) s}} \exp\left(-\frac{(x-x'-v(x', t)s)^2}{2\sigma^2(x', t)s}\right)\,$

Homogénnek nevezzük a Markov-folyamatot, ha az átmeneti valószínűég időeltolás-invariáns:

$P(x, t|x', t') = P(x, t-t'|x', 0)\,$

Homogén diffúziós folyamatokra eben a kontextusban is levezethető a Fokker-Planck-egyenlet, ami lényegében a valószínűség-áramsűrűség megmaradását fejezi ki:

$\frac{\partial P(x, t|x')}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\left( v(x)P(x, t|x') \right) + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left( \frac{\sigma^2(x)}{2}P(x, t|x') \right)\,$