Soktest rendszerek '12

Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a Transzportfolyamatok '12 tételben kerülnek kifejtésre.

A sokrészecskés rendszerek leírásának három szintje van. A legalapvetőbb, mikroszkópikus szinten minden részecskét külön kezelünk. Ez a klasszikus esetben minden részecskére egy Newton-egyenlet csatolását jelenti. Egy Avogadro-szám nagyságrendű rendszerre ennek a megoldása lehetetlen. Ilyen esetekben célszerű a kinetikus megközelítésben számolni, ahol az egyrészecske tulajdonságokat statisztikus átalagokkal váltjuk fel, és ezekre az átlagokra írjuk fel az egyenleteket. Itt a változóink még mindig mikroszkópikus mennyiségek, de már jóval kevesebb van belőlük, mint a részecskék száma. A harmadik szint a makroszkópikus tárgyalás, ahol már a makroszkópikus állapotjelzőkre vonatkoznak az egyenletek, mint például hőmérséklet, nyomás stb. Az alábbiakban a kinetikus tárgyalásmóddal foglalkozunk.

Klasszikus sokrészecskerendszerek leírása

Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a $d^3 p d^3 r$ fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.$

Ezzel szemben az általános N részecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkora valószínőséggel találjuk egy időben az első részecskét az 1. fázistér-pontban, a második részecskét a 2. fázistér pontban, ... stb.:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_1 \, d^3 \vec{p}_1 ... \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_N \, d^3 \vec{p}_N f(\vec{r}_1, \vec{p}_1, ..., \vec{r}_N, \vec{p}_N, t) \, .$

A Liouville-egyenlet

Az eloszlásfüggvények megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a Liouville-egyenlet, amely az N részecske-eloszlásfüggvényre vonatkozik:

$\frac{d f}{dt}= \frac{\partial f}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\dot{q}^i +\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$

Itt $i$ indexeli az $n$ darab részecskét, $q$ a kanonikus koordináta, $p$ a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}.$

Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén. Speciálisan 1 klasszikus részecskére az egyenlet:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\vec{p}}{m}\cdot\nabla_\vec{r}f+\vec{F}\cdot \nabla_\vec{p} f=0.$

Molekula dinamika

Nagyon nagy vonalakban csak arról van szó, hogy a Liouville-egyenletet tekintjük úgy, hogy a deriváltakat a Newton-féle erőtörvény adja.

A Boltzmann-egyenlet

A Boltzmann-egyenlet Boltzmann-egyenlet az előzőekkel szemben az egyrészecske-eloszlásfüggvényre vonatkozó mozgásegyenletet adja meg. Alapvetően ez is a fázistérfogat megmaradására épít, amely külső erőhatás esetén ütközések nélkül:

$f(\vec{r},\vec{p},t)\,d\vec{r}\,d\vec{p} - f(\vec{r}+\frac{\vec{p}}{m}\,dt,\vec{p}+\vec{F}\,dt,t+dt)\,d\vec{r}\,d\vec{p} = 0,$

A baloldal az eloszlásfüggvény teljes deriváltja ha $d\vec{r} d \vec{p}$ infinitezimális. Ha ütközések is vannak, azok a jobboldalra írhatóak. Ezekkel együtt a Boltzmann-egyenlet:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m} \nabla_\vec{r} f + \vec{F} \nabla_\vec{p} f = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.$

Azaz az ütközési tagtól eltekintve visszakaptuk a Liouville-egyenlet fenti speciális esetét. Boltzmann nagy eredménye az volt, hogy az ütközési tagra is tudott jól használható feltevést tenni az egyrészecske-eloszlásfüggvényekkel kifejezve. Ez a molekuláris káosz feltevés, amely arra épül, hogy a részecskék sebességei korrelálatlanok az ütközés előtt és után, továbbá függetlenek a helytől. Ennek a segítségével az ütközési tag:

$\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int d\Omega \int \, d\vec{p}_2 \, \sigma(\Omega) \, \frac{|\vec{p}_1 - \vec{p}_2|}{m} (f'_1 f'_2 - f_1 f_2)$

ahol az 1, 2 indexek az egyik és másik részecske adatait indexelik, a vesszőtlen menyiségek az ütközés előtti, a vesszősek az ütközés utániakat jelölik, $\Omega$ a relatív sebességek megváltozási szöge, $\sigma$ az ütközési hatáskeresztmetszet.

Relaxációs közelítés az ütközési tagra

Az egyik leggyakrabban használt és legegyszerűbb közelítés a Boltzmnn-egyenlet ütközési tagjára, az úgynevzett relaxációs idő közelítés. Ez akkor igaz, ha igen közel vagyunk az egyensúlyi eloszláshoz, 1 valószínűséggel találhatunk betöltetlen állapotokat (az 1-f jellegű tagokat 1-el közelíthetjük), továbbá az ütközés előtti és utáni állapotokra teljesül a részletes egyensúly elve. Ekkor:

$\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = -\frac{f - f_0}{\tau(\vec{p}) }$

ahol $f_0$ az egyensúlyi eloszlás Fermi-Dirac statisztika esetén:

$f_0(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{1}{ \exp\left( \frac{(E(\vec{p}) - E_F)}{kT}\right) + 1 }$

Ha eltekintünk a sűrűség gradiensektől és a külső erőhatásoktól, akkor egyszerűen megoldható a Boltzmann-egyenlet:

$f(\vec{r}, \vec{p}, t) = f_0(\vec{r}, \vec{p}) \times \left( 1-\exp\left(- \frac{t}{\tau(\vec{p})}\right)\right)$

A Vlasov-egyenlet

Vlasov szerint a Boltzmann-féle kinetikus leírás nem jó hosszútávú kölcsönhatásokkal csatolt sokrészecskerendszerek leírására (ő az elektromos plazma leírására használta, de nyilván a gravitáció is hasonló problémákat vet fel). Egyrészt eleoktronszórásos kísérletekkel való ellentmondás, másrészt a plazmaoszcillációkkal való ellentmondás, harmadrészt a kinetikus tagok divergenciái miatt fellépő problémák miatt egy másik kinetikus leírást keresett, amely a Boltzmann-egyenletek és a Maxwell-egyenletek csatolásával leírná az elektronok és a pozitív töltés atomtörzsek egymásrahatását.

Bár az irodalom erősen keveri az elnevezéseket, de úgy fest, hogy a Vlasov-egyenlet nem más, mint a Boltzmann-egyenlet ütközési tag nélkül, és az erőhatás az elektromágneses hatásokból származik, csatolva a Maxwell-egyenletekkel:

$\frac{\partial f_{\pm}}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m_{\pm}} \cdot \nabla_{\vec{r}} f_{\pm} \pm e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}(\vec{v}\times\vec{B})\Bigr)\cdot \nabla_{\vec{p}} f_{\pm} = 0$

$\nabla\times\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad \nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

$\nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho,\quad \nabla\cdot\vec{B}=0$

$\rho=e\int(f_+-f_-)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_+-f_-)\vec{v}d^3\vec{p}$

Itt "+" a pozitív töltésű, "-" a negatív töltésű részecskék paramétereit indexeli. Fontos látni, hogy az elektromágneses tér forrásául nem az egyes részecskék, hanem a kiátlagolt eloszlásfüggvények szolgálnak.

Kvantumos sokrészecskerendszerek leírása

Legegyszerűbb (nem-relativisztikus) esetben az időfüggő Schrödinger-egyenletet kellene megoldani:

$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \mathcal{H} \Psi$

ahol $\Psi = \Psi(1, 2, ..., N, t)$ az N-részecske hullámfüggvény, $\mathcal{H}$ pedig a sokrészecske Hamilton-operátor. Ennek precíz megoldása szintén esélytelen.

A Hartree-Fock módszer

Statikus esetben egy jó közelítés a Hartree-Fock módszer. Közelítsük a sokrészecske-hullámfüggvényt egyrészecske-hullámfüggvények kombinációjaként, számoljuk ki a kölcsönhatások átlagait ezekkel, majd oldjuk meg ezekre egyenként az egyrészecske-egyenleteket. Az így kapott új hullámfüggvényekkel újrakezdhető az iteráció, és egy önkonzisztens módszert kaphatunk.

A Hartree és a Hartree-Fock módszer abban különbözik, hogy milyen módon bontják fel a sokrészecske-hullámfüggvényt. Előbbi simán szorzatalakban, utóbbi Slater-determináns alakban teszi ezt, ez nyilván jobb felírás (fermionokra), mert figyelembe veszi a hullámfüggvény antiszimmetrikusságát.

Hartree-módszerben a variációs hullámfüggvény:

$\psi(\vec{r_{1}};\vec{r_{2}};...;\vec{r_{N}})=\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}})\varphi_{i_{2}}(\vec{r_{2}})...\varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})$

Hartree-Fock módszerben a variációs hullámfüggvény: $\psi(\vec{r_{1}};\vec{r_{2}};...;\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{i_{1},...,i_{N}=1}^{N}\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}})\varphi_{i_{2}}(\vec{r_{2}})...\varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{ccc} \varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{1}})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \varphi_{i_{1}}(\vec{r_{N}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}}) \end{array}\right|$,

ahol $\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}$ a Levi-Civita szimbólum.

Statikus esetben a Hartree-Fock egyenlet a következő alakba írható:

$\mathcal{H} \phi_i = E_i \phi_i$

$\mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta_\vec{r} + V(\vec{r}) + U(\vec{r}) + K$

$U(\vec{r}) = \int d^3 r' v(\vec{r}-\vec{r}') f(\vec{r}')$

és $K$ hatása:

$K \phi(\vec{r}) = \int d^3 r' \rho(\vec{r}, \vec{r}') v(\vec{r}-\vec{r}') \phi(\vec{r}')$

ahol az egyrészecske-sűrűségmátrix:

$\rho(\vec{r}, \vec{r}') = \sum_i^N \phi^*_i(\vec{r}) \phi_i(\vec{r}')$

és az egyrészecske-eloszlásfüggvény:

$f(\vec{r}) = \rho(\vec{r}, \vec{r})$

Időfüggő Hartree-Fock

Ha dinamikát akarunk leírni, akkor a sűrűségmátrix időfejlődését kell tekintenünk. Ezt a Neumann-egyenlet írja le:

$i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [\mathcal{H},\rho]$

A problémát itt a párkölcsönhatás okozza, mert ez csatolódik a kétrészecske-sűrűségmátrixhoz. Ez elvileg az egyenletek végtelen hierarchiájához vezetne (az adott rendű sűrűségmátrix időfejlődése mindig csatolódik az eggyel magasabb rendű sűrűségmátrixhoz). Ezt egy közelítéssel oldjuk fel, nevezetesen a kétrészecske-sűrűségmátrixot az egyrészecskéssel fejezzük ki, ezáltal levágva a hierarchiát:

$\rho^{(2)}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3, \vec{r}_4) = \rho(\vec{r}_2, \vec{r}_3) \rho(\vec{r}_1, \vec{r}_4) - \rho(\vec{r}_2, \vec{r}_4) \rho(\vec{r}_1, \vec{r}_3)$

Így zárt egyenletrendszer kapható, amiben csak $\rho(\vec{r}, \vec{r}')$ szerepel, de csak egyrészecske hatásokat vettünk figyelembe.

Uehling-Uhlenbeck ütközési tag

Ha a kétrészecske hatásokat is figyelembe szeretnénk venni, akkor azt perturbatíven lehet megtenni. Ha feltesszük, hogy az egyrészecske-sűrűségmátrix diagonális, akkor az egyrészecske-sűrűségelemek ($n_i$) mozgásegyenlete:

$\frac{d n_i}{d t} = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_{j} V^2_{ij} \delta(E_j-E_i)[n_j(1-n_i) - n_i(1-n_j)]$

Az analóg kifejezés a kétrészecskés esetre:

$\frac{d n_i}{d t} = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_{jlk} V^2_{ijkl} \delta(E_l+E_k-E_i-E_j)[n_l n_k (1-n_i)(1-n_j) - n_i n_j (1-n_l)(1-n_k)]$

$V_{ijkl}$ a párkölcsönhatás mindkét esetben. Az időfüggő Hartree-Fock megközelítés tehát tovább javítható, ha a kétrészecske ütközéseket is be tudjuk építeni a modellbe. A fenti kétrészecskés tag adta a motivációt Uehlingnek és Uhlenbecknek, hogy egy klasszikus kinetikus egyenletet írjanak fel, ami a kétrészecskés ütközéseket is figyelembeveszi. Lényegében a Vlasov-egyenlethez hozzáadták a fenti kétrészecskés ütközési tagot a megfelelő klasszikus közelítések felhasználásával:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m} \nabla_\vec{r} f + \vec{F} \nabla_\vec{p} f = -\int \frac{d \vec{p}_2 d \vec{p}_1' d \vec{p}_2'}{(2\pi)^6} \sigma v_{12} \times [f f_2 (1-f_1')(1-f_2') - f_1' f_2' (1-f)(1-f_2)]\delta^3(p + p_2 - p_1' - p_2')$

itt $\sigma$ az ütközési hatáskeresztmetszet, $v_{12}$ pedig a potenciál mátrixeleme.

Gravitációsan kölcsönható soktestrendszerek

A gravitációs soktest modellek nagyban hasonlítanak a fentebb ismertetettekre, csak a Maxwwell-egyenletek helyett például a gravitációs potenciál egyenletét kell csatolni a kinetikus egyenlethez. Itt még egy trükköt szoktak bevetni, nevezetesen a folytonos eloszlásfüggvényből Monte-Carlo módszerrel mintavételeznek pontrészecskéket, és rájuk számolják ki a párkölcsönhatásokat (esetleg megfelelően nagy távolságon elhanyagolva, vagy rácson blokkosítva). Ez egyszerűbb, mintha a folytonos anyageloszlásra kellene kiszámolni az erőhatást.