„Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel” változatai közötti eltérés
a (→Lineáris válasz-elmélet) |
a (→Lineáris válasz-elmélet) |
||
19. sor: | 19. sor: | ||
:<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math> | :<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math> | ||
− | Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer | + | Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: <math>\rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,</math>, továbbá a külső perturbációja legyen <math>-A \cdot f(t)\,</math> alakú, ahol <math>A\,</math> a perturbáló mennyiség operátora, <math>f(t)\,</math> pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk: |
:<math><X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)</math> | :<math><X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)</math> |
A lap 2011. június 11., 20:08-kori változata
Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.
Tartalomjegyzék
Lineáris válasz-elmélet
Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy
időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.
A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja és a kölcsönhatást leíró Hamilton
, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.
A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, -val. Egy
mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag)
időpontban:
ahol az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését
-ból
-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így
is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:
Ennek a megoldása -ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:
Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: , továbbá a külső perturbációja legyen
alakú, ahol
a perturbáló mennyiség operátora,
pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:
Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:
ahol:
a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény.
Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek
Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció és a perturbáció amplitudója
a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre:
Korrelációs függvények
Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például:
Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott .
Fluktuáció-disszipáció tétel
A korrelációs-függvény és a lineáris válaszfüggvény között a Fourier-térben egyszerű alakú kapcsolat áll fent:
A korrelációs függvény az egyensúlyi fluktuációkat jellemzi, míg a lineáris válaszfüggvény képzetes része a rendszer irreverzibilis megváltozását (pl. disszipáció) jellemzi, amiközben törekszik az egyensúly felé.
Klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy:
ahol a klasszikusság feltétele, hogy a rendszer átmenetei sokkal kisebb energiájúak legyenek, mint a hőmérsékleti fluktuációk jellemző energiái:
Ez a kapcsolat azést is fontos, mert a korrelációs-függvények aránylag könnyen mérhetők (pl: neutron-szórás kísérletek a nukleon-nukleon sűrűség korrelációs függvénnyel arányosak) ezáltal pedig megkaphatjuk a válaszfüggvény képzetes részét is. Magát a válszfüggvényt teljes egészében előállíthatjuk csupán a képzetes rész ismeretéből.
Kramers–Kronig-reláció
Matematikailag a Kramers–Kronig-reláció kapcsolatot teremt egy komplex függvény képzetes és valós része között, amennyiben a függvény analitikus a felső félsíkban. Fizikai rendszerek válaszfüggvényeinél a kauzalitás miatt ez a feltétel teljesül. A lineáris válszfüggvény Fourier-transzformáltja egy komplex mennyiség, írjuk fel tehát komplex alakban:
Ekkor a Kramers–Kronig-relációk:
és:
és a főérték integrált jelöli.