Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok '12

AR(p), MA(q), ARMA(p,q)

Egy adott $X$ egyváltozós idősor következő tagja felírható a következőféleképpen:

AR(p) - autoregressive modell $X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t ,$

ahol $c$ egy konstans, $\phi _1,..., \phi_p$ paraméterek, és $\epsilon _t$ fehér zaj.

MA(q) - moving avarage $X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} ,$

ahol $\mu$ az idősor átlaga, $\epsilon _t, \epsilon _{t-1},...$ (gauss) fehér zaj, $\theta _1,..., \theta _q$ a modell paraméterei.

ARMA(p,q) - autoregresszív mozgó átlag modell, az előző kettő ötvözete:

$X_t = c + \epsilon _t + \sum _{i=1}^p \phi _i X_{t-i} + \sum _{i=1}^q \theta _i \epsilon _{t-i} .$

ARCH, GARCH modellek

• ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés

• GARCH: generalized ARCH

A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:

$y_t = \sigma_t \epsilon_t$ (1)

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2$ (2)

$y_t$ az idősor értéke t-ben, $\sigma_t$ a szórás t-ben, $\epsilon_t$ standard normál eloszlásból származó zaj, $\alpha_1$ legyen nemnegatív.

A $\sigma_t^2$-re AR modellt írtunk fel.

Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.

$y_t$ feltételes eloszlása gaussi: $y_t | y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)$

Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:

$y_t^2=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\sigma_t^2 (\epsilon_t^2-1)$

Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az $y_t^2$-re felírva.

Állítás: $y_t$ átlaga 0

Biz.: legyen $Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}$, ekkor, mivel $y_t$ csak $y_{t-1}$-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:

$E \left(y_t \right) = E \left( y_t | Y_t \right ) = E \left( y_t | y_{t-1} \right ) = 0$

Állítás: $y_t$ korrelálatlan

Bizonyítás:

$cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) \right) = 0$, ha $h \neq 0$

Kiszámolhatjuk $y_t^2$ és $y_t^4$ átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):

$E \left(y_t^2 \right) = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}$

$E(y_t^4 ) = \frac{3\alpha_0^2}{(1-\alpha_1 )^2} \frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}$

Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:

$\kappa = \frac{E\left(y_t^4\right)}{\left[E\left(y_t^2\right)\right]^2} = 3\frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}$

Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eloszlás kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.

ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re

$y_t = \sigma_t \epsilon_t$

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2+\alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2$

$y_t$ feltételes eloszlása ismét gaussi: $y_t | y_{t-1} \sim N \left(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 + \alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2\right)$

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell a következő:

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \sigma_{t-j}^2$

Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):

$\hat{\sigma}_{t+1}^2 = \hat{\alpha}_0 + \sum_{j=1}^m \hat{\alpha}_j y_{t+1-j}^2 + \sum_{j=1}^r \hat{\beta}_j \hat{\sigma}_{t+1-j}^2$

Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:

$L\left(\alpha_0,\alpha_1|y_1\right) = \prod_{t=2}^n f_{\alpha_0,\alpha_1}\left(y_t|y_{t-1}\right)$

az f() függvény az $y_t$ feltételes eloszlása: $N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)$

A –ln(L) minimuma fogja megadni az $\alpha_0$ és $\alpha_1$ paramétereket.