Transzportfolyamatok

Az előző tételben bemutatott kinetikus egyenletek alapjául szolgáló eloszlásfüggvényekkel fejezhetőek ki a különböző makroszkopikusan is mérhető mennyiségek, illetve az ezek közötti kapcsolatok. Ezekről, illetve néhány egyszerű alkalmazásról lesz szó itt.

A Boltzmann-típusú egyenletek momentumai

Annak analógiájára, hogy a sűrűségfüggvény integrálja a részecskeszámot adja, számos más mennyiség is előállítható belőle. Például tetszőleges $X$ mennyiség áramsűrűsége:

$\vec{j}_X = \int X f \vec{v} d^3p$

Ezzel könnyen felírható az elektromos töltés árama, vagy a hőáram (a Fermi-szint feletti energia árama):

$\vec{j}_e = e\int f \vec{v} d^3p$

$\vec{j}_Q = \int (E-E_F) f \vec{v} d^3p$

Az átlagenergiasűrűséget már a sebesség második hatványával tudjuk kifejezni:

$\varepsilon = \vec{j}_X = \frac{1}{2}m\int f v^2 d^3p$

Látható, hogy a kifejezések integrandusában az $f \cdot v^n$ faktor a közös, ez alapján teljesen jogos a momentumokról beszélni, hiszen a sebesség egyre magasabb hatványai jelennek meg. Külön ki kell emelni, hogy mi a helyzet az ütközési tagok momentumatival. Általában plazma leírásnál felteszik, hogy ezeknek a momemtumai nullák, azaz nincs részecskeszám változás, nincs összenergia, illetve összimpulzus változás stb. Nyilván ezek csak bizonyos folyamatok esetében igazak, nem általános érvényességű igazságok (pl. ionizáció v rekombináció esetén változik a részecskeszám stb.), de mindig tükrözik, hogy az adott rendszerben milyen makroszkopikus megmaradási tételek igazak.

Transzport koefficiensek

A termodinamikai rendszert fizikai mennyiségek jellemzik. Ha egy ilyen mennyiségnek a lokális sűrűsége megváltozik, akkor ahhoz tartozik egy áram, ami az adott mennyiséget szállítja, ezeket a folyamatokat nevezzük transzport folyamatoknak. Ha az áram, illetve az áramot hajtó hatás nem túl nagy, akkor tipikusan jó a lineáris közelítés. Ekkor a lineáris együtthatót transzport koefficiensnek nevezzük. Néhány ilyen mennyiség például a hozzájuk tartozó áramokkal: Diffúziós-együttható (tömeg áram), viszkozitás (impulzus áram), hővezetési-együttható (energia áram), elektromos-vezetési együttható (az ellenállás reciproka, elektromos áram). Ezek kifejezhetőek a Boltzmann-egyenletekből megfelelő közelítések árán.

Példaképpen, ha csak az elektromos és hővezetési effektusokra szorítkozunk, akkor első közelítésben a következő egyenletek vezethetőek le:

$\vec{j}_e = \mathbf{L}_{11} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{12} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T$

$\vec{j}_Q = \mathbf{L}_{21} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{22} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T$

ahol

$\mathbf{L}_{11} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p$

$\mathbf{L}_{12} = \mathbf{L}_{21} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F) \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p$

$\mathbf{L}_{22} = \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F)^2\tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p$

és $\circ$ a diadikus szorzatot jelöli, $\tau$ pedig az ütközési tag relaxációs idejét jelenti. Az L tenzor off-diagonális elemei az Onsager-relációk miatt egyeznek. (Erről valahol majd még lesz szó). Ezekkel a lineáris transzport koefficiensek tenzorai már egyszerűen felírhatóak:

$\mathbf{\sigma}_e = -e \mathbf{L}_{11}$ azaz a vezetőképesség tenzora, ha nincs hőmérséklet gradiens.

$\mathbf{\sigma}_Q = \frac{1}{T}[ \mathbf{L}_{22} - \mathbf{L}_{12} (\mathbf{L}_{11})^{-1}\mathbf{L}_{12} ]$ a hővezetés tenzora, ha nincs elektromos áram.

$\mathbf{S} = \frac{1}{T}[ (\mathbf{L}_{11})^{-1} \mathbf{L}_{12}]$ a termoelektromos együttható, ha nincs elektromos áram.

A magasabb rendű és kereszteffektusok hasonlóan, csak bonyolultabb közelítések után számolhatóak, néhány példa: Peltier-, Thomson-, Seebeck együtthatók, Hall-tenzor stb.

Ezek az együtthatók egyébként közvetlenül is számolhatóak a mikroszkópikus modellekből, erről a Green–Kubo-összefügések adnak számot.

Anomális diffúzió

Izé... asszem így hívták, amit káoszból tanultunk... asszem a CADS-ban benne van... Sztem érdekesség képpen rakjuk be ide...