Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel

Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.

Lineáris válasz-elmélet

Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy $t_0 \,$ időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy $t\,$ időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.

A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja $\mathcal{H}_0\,$ és a kölcsönhatást leíró Hamilton $\mathcal{H}_I\,$, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.

A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, $\rho\,$-val. Egy $X\,$ mennyiség sokaságátlaga $t\,$ időpontban:

$<X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = Tr( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))$

ahol $U(t, t_0)\,$ az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését $t_0\,$-ból $t\,$-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így $U\,$ is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:

$i\hbar \frac{dU}{dt} = [U, \mathcal{H}_0]$

Ennek a megoldása $U\,$-ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:

$U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau$

Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer termikus egyensúlyban volt: $\rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,$, továbbá a külső perturbációja legyen $-A \cdot f(t)\,$ alakú, ahol $A\,$ a perturbáló mennyiség operátora, $f(t)\,$ pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:

$<X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)$

Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbéstől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:

$<X>_t = <X>_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \chi(t-\tau) f(\tau)$

ahol:

$\chi(t) = \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]$

a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény.