Adatelemzés: bootstrap modellek

Egy X valószínűségi változó eloszlását különféle paraméterekkel jellemezhetjük: várható érték, szórás, ferdeség, stb. Ezeket a paramétereket egy n elemű minta alapján statisztikai függvények segítségével becsüljük. Pl.: a várható értéket a mintaátlaggal becsüljük, az empirikus és a korrigált empirikus szórás a szórás becslései. A becslésektől elvárjuk, hogy (legalább aszimptotikusan) torzítatlanok legyenek, valamint a becslés standard hibája a mintaszám növelésével nullához tartson. Ha kicsi a mintaszámunk, akkor nemcsak, hogy pontatlan lesz a becslésünk, de a pontosság jellemzőit sem tudjuk megbecsülni (pl.: konfidencia-intervallum) a klasszikus statisztika eszközeivel.

Mikor nevezhető kicsinek a mintaszám? Akkor, ha a becslés pontossági jellemzőinek (torzítás, standard hiba, konfidencia-intervallum) az n elemű mintából történő becslésekor indokolatlan a határeloszlásra való áttérés (a "klasszikus" képletek nem alkalmazhatók). A probléma megoldására találták ki az újra mintavételező módzsereket

Bootstrap módszer

Legyen X egy valószínűségi változó, $x = (x_1, x_2, ..., x_n)$ pedig egy n elemű minta X-re, s(x) pedig X valamely paraméterének becslése. A bootstrap-szimuláció során visszatevéssel egy új, szintén n elemű mintát veszünk: $x^* = (x_1^*, x_2^*, ..., x_n^*)$. Pl.: n=5-re: $x^* = (x_2, x_4, x_1, x_2, x_1)\,$. Az x^*-ra is alkalmazzuk s(x)-et, így s(x^*)-ot kapjuk. Az eljárást N-szer megismételjük, így kapjuk s(x)-ek egy sorozatát: $s(x_1^*), s(x_2^*), ... s(x_N^*)$. Ha N elég nagy, akkor az s(x) becslés bootstrap-utánzatainak empirikus eloszlása jól modellezi az adott statisztika elméleti eloszlását.