Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva

Tartalomjegyzék

1 Általános statisztikai jellemzők
2 Modellek illesztése

Általános statisztikai jellemzők

(Átlag szórás, kovariancia...)

Modellek illesztése

Lineáris regresszió

A most leírt modell tulajdonságai a következők:

prediktor változó: x
az y-ok függetlenek
adott x-re kapott y-ok normál eloszlásúak olyan átlaggal, ami az x lineáris függvényeként kapható meg

Feladat: adott x-re y-t megmondani. A straight line regression model (egyenes vonal illesztő modell) alakja a köv:

$y = \alpha + \beta \cdot x + \epsilon$ , vagy indexesen $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \ldots: y_i = \alpha + \beta \cdot x_i + \epsilon_i$

A normál analízis során azt feltételezzük, hogy epsilon_i-k független és azonosan 0 átlagú és szigma^2 szórású normál eloszlást követő változók. Az alfa+beta*x a determinisztikus rész, az epsilon_i a random zaj. Az előbbi érdekel minket.

Az illesztés során a legkisebb négyzetek módszerét használhatjuk.

Legkisebb négyzetek módszere

Tegyük fel, hogy $(x_i, y_i), i = 1 \ldots N$ mérési adatokra akarunk függvényt illeszteni, melynek paraméterei $a_j, j = 1 \ldots M$ , azaz

$y(x) = x(x;a_1,a_2,\ldots,a_m)$

A legkisebb négyzetek módszere a következő módon keresi a paramétereket:

${min}_{a_1 \ldots a_m}\left( \sum_{i=1}^N [y_i - y(x_i;a_1,\ldots,a_m)]^2 \right)$

Ez azért jó, mert megadja a paraméterek legvalószínűbb halmazát. Természetesen lehetne más költségfüggvényt is használni, de ez a modell arra a kérdésre ad választ, hogy mely paramétervektor esetén a maximális a valószínűsége annak, hogy az adott mérési eredményeket kapjuk. Ez a maximális valószínűségű paraméterbecslés.

Ha csak az $y_i$ adatok mérési hibáját vesszük figyelembe és az a hiba Gauss eloszlású, valamint a hiba eloszlásának szórása azonos mindegyik mérési pontban (ha ezek nem teljesülnek, akkor a módszer nem a legnagyobb valószínűséghez tartozó paramétereket adja), akkor a fenti valószínűség átírható így:

$P \propto \prod_{i=1}^N \left\{ exp \left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{y_i - y(x_i)}{\sigma} \right)^2 \right] \Delta y \right\}$

Ennek keressük a maximumát (vagy ha vesszük a negatív logaritmuást, akkor a minimumát):

$-log(P) = \left[ \sum_{i=1}^N \frac{[y_i - y(x_i)]^2}{\sigma} \right] - N log(\Delta y)$

Mivel N, $\sigma$ és $\Delta y$ állandók, ez pont a legkisebb négyzetek módszerét adja és P értéke megmondja, hogy mennyire jó az illesztés.

A Khí-négyzet módszer

Ha a mérési pontok hibájának szórása nem egyforma (de továbbra is normál eloszlást követnek), akkor a legkisebb négyzetek módszerét könnyen általánosíthatjuk. Ez a Khí-négyzet illesztés, amelynek költségfüggvénye a következő:

$\chi^2 = \sum_{i=1}^N \left( \frac{y_i - y(x_i;a_1, \ldots a_M}{\sigma_i} \right)^2$

Tekinthetjük úgy, hogy a $\sigma_i$ szórásokkal súlyozzuk az eltéréseket, vagy másképpen egységnyi szórásúra normálunk minden pontnál.

Mivel a mérési pontokról feltételeztük, hogy normál eloszlást követnek, $\chi^2$ ilyen véletlen változók négyzetének összege. Az ilyen típusú valószínűségi változók nem Gauss eloszlást, hanem az úgynevezett (N - M) szabadsági fokú Khí-négyzet eloszlást követik. Ha az $a_j$ paraméterek lineárisan szerepelnek akkor ez az eloszlás analitikusan megadható, így megmondható annak valószínűsége (Q), hgoy az adott paraméterekkel jellemzett modellen végzett mérés $\chi^2$ -nél nagyobb eltérést ad. ( $Q \approx 0,1$ tipikus, $Q \approx 0,01$ elfogadható, $Q < 0,001$ rossz modellre vagy hibabecslésre utal). Fontos, hogy a mérési hibák becslése jó legyen, különben megtévesztő eredményre juthatunk.