Kristályos anyagok fizikája
Tartalomjegyzék
Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák.
Rácsvektor (): olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)
Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára:
Az ilyen vektorral való eltolását transzlációs műveletnek nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.
Pontrács: pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.
Kristályszerkezetet akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.
Ideális kristály: olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három ()vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.
Elemi cella: elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. Az elemi cella primitív, ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)
Reciprok rács: , ahol
Szimmetriák
1. Transzláció: létezik az transzlációs vektor
2. Forgatás: (inverz forgatás is megengedett)
Ha egy kiszemelt tengely körüli szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt n-fogású forgástengelynek nevezik:
m | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
n | 1 | 6 | 4 | 3 | 2 |
(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)
3. Inverzió: (középpontos tükrözés)
4. Csúszósík: összetett szimmetria művelet tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).
5. Tükörtengely: összetett szimmetria művelet forgatás, majd inverzió: az fogású tükörtengely jele, a közönséges inverzió, létezik.
1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.
Bravais-rácsok
230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben
14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben
A jelölések[1]:
• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban
• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén
• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont
• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont
A 7 kristályszimmetria | A 14 Bravais rács | |||
Triklin | P | |||
Monoklin | P | C | ||
Ortorombos | P | C | I | F |
Tetragonális | P | I | ||
Trigonális | P | |||
Hexagonális | A | |||
Köbös | P (pcc) | I (bcc) | F (fcc) | |
Fontosabb kristályszerkezetek[2]
1. Egyszerű köbös (SC): Po
A WS cellája is kocka.
2. Lapcentrált köbös (FCC): Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))
3. Tércentrált köbös (BCC): Fe, W, Mo
4. Gyémánt rács: , Si, Ge
FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).
5. NaCl szerkezet: (két egymásba tolt FCC)
6. Hexagonális (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb
4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.
Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás.
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség () lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.
Ionok:
- A Hamilton-fv:
Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.
Elektronok:
- A Hamilton-fv:
Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton-függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.
Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:
Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai[3]). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak az elektronproblémát, azaz az harmadik tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra az elektronproblémát, álló ionok terében:
1 elektronra:
Sok elektronra:
Itt az első tag az elektronok kinetikus energiája, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. -nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:
Ez akkor teljesül, ha:
Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük. Vagyis az elektron hullámfüggvénye tükrözi a rács szimmetriáit.
A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszorzással, így más módszert kell alkalmaznunk (főtengelytranszformációt), de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.
Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel.
Röntgen-diffrakció
(a) Röntgencső
Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.
(b) Szinkrotronsugárzás
Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)
Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.
Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate
Elektronok
Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha elektronmikroszkópot használunk anyagvizsgálatra:
Leképezés: , ha k=f, akkor diffrakció van.
Röntgenhez képest hátrány:
- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: (ami elég rossz)
- bonyolult mintapreparáció
- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)
- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére
Előny:
- sokmindent látni vele
- szűkíthető látótér
- korlátozott területű diffrakció valósítható meg
Szórás kinetikus elmélete
Röntgen sugárzás esetén Thomson-szórás
(1) Rugalmas szórás: változatlan,
(2) Koherens
(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…
Fraunhofer interferencia:
A bemenő-kimenő hullámszám = : ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:
A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.
Intenzitás:
Bevezetjül az Ewald-szerkesztést: reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald-gömb.
- Jelölés: - rácsvektor; - reciprokrácsvektor
Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:
A fentiekből:
Tehát:
Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:
-
-
- elhajlási irány
- kioltás
- teljesülnie kell, különben nincs interferencia
Bragg-feltétel
Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy
Továbbá tudjuk, hogy
Tehát:
Az ábra alapján pedig látható, hogy:
Amelyből átrendezéssel kapható a Bragg-feltétel: erősítés csak ebben az esetben lesz!
Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza , ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.
Rácsrezgések termikus hatásai.
Debye-féle fajhő
- A rács termikus rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)
- Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak .
Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.
Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).
Debye-közelítésben és között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.
A belső energia várható értéke a következőképp adható meg:
, ahol a Debye-hőmérséklet.
Hővezetés
A hővezetőképesség definíció szerint:
, ahol
- Q - a termikus energiaáram
- - a hővezetőképességi együttható
- - a hőmérsékletgradiens
Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.
A kinetikus-gázelmélet alapján:
, ahol
- C - az egységnyi térfogatra eső fajhő
- u - a részecske átlagsebessége
- - részecske szabad úthossza (két ütközés között)
Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és a fononok szabad úthossza.
(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)
Hőtágulás
A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)
Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.
- ↑ Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice
- ↑ Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)
- ↑ Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon