Kvantumstatisztikák

Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás

Egy sokrészecskés kvantummechanikai rendszert a hullámfüggvénye ír le, ami összes részecske összes koordinátájától, és egyéb, belső szabadsági fokot leíró változójától (pl.: spin) is függ. Egy fizikai mennyiség várható értéke az operátorával vett szendiccsel számítható ki: $\langle \Psi | \hat{A} | \Psi \rangle$. Bármilyen hullámfüggvény kifejezhető például az időfüggetlen Scrödinger-egyenlet megoldásaival, amik a rendszer energiasajátállapotai. Véges méretű rendszernél ezekből általában megszámlálhatóan sok van, így a hullámfüggvény egy (véges vagy végtelen) összeggel adható meg: $\Psi = \sum_n c_n \Psi_n$ Itt $p_n \equiv | c_n |^2$ a valószínűsége annak, hogy a rendszeren mérést végezve azt az $n$-edik sajátállapotban találjuk. Így ha megadjuk a rendszer hullámfüggvényét egy pillanatban, akkor azzal megadtuk a rendszert leíró valószínűségeloszlást is. A rendszer entrópiája a klasszikus rendszerekhez hasonlóan $S = -k \sum_n p_n \ln p_n$ A klasszikus rendszerekkel szemben, ahol a rendszer energiája egy tartományon belül folytonosan változhatott, itt az energia (és így a rendszert leíró többi mennyiség is) megszámlálhatóan sok diszkrét értéket vehet fel. Sokrészecskés rendszernél általában az energiasajátértékek degeneráltak, és nagyon sok van belőlük, így az összegzést gyakran integrállal lehet helyettesíteni.

A továbbiakban kölcsönhatás nélküli kvantumgázokkal foglalkozunk. Ekkor a részecskék közül mindegyikre ugyanaz az egyrészecskés Schrödinger-egyenlet vonatkozik, az ennek megoldásaként adódó egyrészecskés energiasajátállapotok minden részecskére ugyanazok, így (mivel a részecskék megkülönböztethetetlenek) a rendszer leírásához elég azt leírni, hogy melyik egyrészecske sajátállapotban hány részecske van. Fermionoknál ehhez hozzá kell tenni még azt a feltételt, hogy egy energiasajátállapotban legfeljebb egy részecske lehet, bozonoknál akármennyi. A kvantumgázoknál általában nagykanonikus sokaságban érdemes dolgozni, mert így az állapotösszeg és a belőle számítható mennyiségek kiszámításakor nem kell a részecskék számára vonatkozó mellékfeltételt figyelembe venni, ami egyszerűsíti a számításokat. Ekkor a részecskeszámot és a többi mennyiséget is a kémiai potenciál függvényében kell kiszámítani, az így kapott eredményekből a kémiai potenciál kiküszöbölésével lehet a gáz állapotegyenletét meghatározni, ez azonban analítikusan nem végezhető el.

A Bose-Einstein-eloszlás

$n_l = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon_l - \mu )} -1}$ megadja az $\varepsilon_l$ energiájú állapotban levő részecskék várható értékét. Ahhoz, hogy ez sehol se divergáljon és a részecskék száma pozitív legyen, az szükséges, hogy a kémiai potenciál kisebb legyen a legalacsonyabb energiaszintnél (így a nevezőben mindig egy pozitív szám lesz).

A Fermi-Dirac-eloszlás

$n_l = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon_l - \mu )} +1}$ megadja az $\varepsilon_l$ energiájú állapotban levő részecskék várható értékét. A Fermi-eloszlás értéke mindig egy 0 és 1 közötti szám.

Ideális gázok

Egy $L$ oldalú kockába zárt ideális gáznál az energisajátállapotok: $\varepsilon (r_1,r_2,r_3) = \frac{\hbar^2}{4 L^2 2 m} \left (r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 \right )$ Itt a három $r$ egész értékeket vehet fel. Az eloszlásfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a részecskeszámot és az energiát.

$N = \sum_l n_l$ $E = \sum_l \varepsilon_l n_l$

A nyomás a nagykanonikus potenciálból származtatható:

$p V = \pm k T \sum_l \ln \left ( 1 \pm e^{\beta (\mu - \varepsilon_l)} \right)$

A felső előjel vontatkozik a fermionokra, az alsó a bozonokra.

A fenti összegzések (azt feltételezve, hogy nagyon sok energiaszint van és ezek egymáshoz közel helyezkednek el) integrállal közelíthetőek, az eredmények:

$N = (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{\varepsilon}}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} \pm 1 } \mathrm{d} \varepsilon$

$E = (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\varepsilon^{3/2}}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} \pm 1 } \mathrm{d}^3 p$

$p V = \pm (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} k T \int_0^{\infty} \sqrt{\varepsilon} \ln \left ( 1 \pm e^{\beta (\mu - \varepsilon_l)} \right) \mathrm{d} \varepsilon$

Itt $s$ a részecskék spinje, $V$ a gáz térfogata, és $\varepsilon(p) = \frac{p^2}{2 m}$ egy részecske energiája. A nyomás kifejezését parciálisan integrálva kapjuk, hogy:

$p V = \frac{2}{3} E$

A klasszikus határeset

Mindkét eloszlásnak a klasszikus határesete a Boltzmann eloszlás. Ha a számlálóban levő exponenciális tag nagy, akkor mellette az 1 elhanyagolható, és pont a Boltzmann eloszlást kapjuk. (Természetesen ekkor mindegyik állapotban a részecskék számának várható értéke nagyon kicsi, majdnem 0.) Legyen az alapállapot energiája $\varepsilon_0 = 0$ (az alapállapoti energiát tetszőlegesen eltolhatjuk, mert nem mérhető), a részecskék energiája: $\varepsilon \geq 0$. Ekkor annak a feltétele, hogy az eloszlásban szereplő exponenciális értéke minden energiaszintre nagy legyen annak felel meg, hogy $e^{-\beta \mu} \gg 1$ teljesüljön. Klasszikus ideális gázra: $e^{\beta \mu} = \frac{N}{V} \left ( \frac{h^2}{2 \pi m k T} \right )^{3/2}$

Ezzel az előző feltétel: $1 \gg \frac{N}{V} \left ( \frac{h^2}{2 \pi m k T} \right )^{3/2}$

Azaz az előző feltétel annak felel meg, hogy elég magas legyen a hőmérséklet és elég kicsi legyen a gáz sűrűsége. Ugyanezt az eredményt kapjuk a határozatlansági reláció felhasználásával is. Klasszikus esetben $\Delta x \Delta p \gg h$, a koordináta és impulzusbizonytalanságokról pedig feltételezzük, hogy kisebbek, mint azok átlagos értékei:

$\Delta x \ll R = \left ( \frac{V}{N} \right )^{1/3}$ $\Delta p \ll p_T = \sqrt{2 m k T}$

Ezeket behelyettesítve a határozatlansági relációba és mindkét oldal harmadik hatványát véve pont az előbbi feltételt kapjuk.

Bose-Einstein kondenzáció

A Bose-kondenzáció lényege, hogy a hőmérsékletet csökkentve egy megmaradó számú részecskéből álló Bose-gázban makroszkópikusan sok részecske lesz a legalsó energiaszinten (mivel az egy energiaszinten levő részecskék számát semmi sem korlátozza), a $T = 0$ hőmérsékletű határesetet véve az összes részecske a legalsó szinten lenne.

Legyen egy dobozba zárt ideális Bose-gázunk (ahol a részecskék száma megmarad), és kezdjük el hűteni. Mivel a részecskék száma megmarad, a sűrűségnek is állandónak kell lennie. A sűrűség:

$\frac{N}{V} = \frac{4 \pi}{h^3} \int_0^{\infty} \frac{p^2 \mathrm{d} p}{e^{\beta \left (\frac{p^2}{2 m} - \mu \right )} - 1 } = 2 \pi \left ( \frac{2 m k T}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x+\alpha} - 1}$

Itt felhasználtuk a $x \equiv \frac{\beta p^2}{2 m}$ és a $\alpha \equiv - \beta \mu$ helyettesítéseket. Mivel itt a legalsó energiaszintet 0-nak vettük, így $\alpha \geq 0$. Az integrál szorzója egy véges szám, ami a hőmérsékletet csökkentve egyre csökken, így ahhoz, hogy a sűrűség állandó maradjon, az integrál értékének nőnie kell. Az integrál az $\alpha = - \beta \mu$ paraméter függvénye, így az integrál növekedése a kémiai potenciál változtatásával érhető el. Megvizsgálva az integrál eredményéül adódó függvényt azt kapjuk, hogy az $\alpha$-nak a monoton csökkenő függvénye, és $\alpha = 0$-nál is véges értéket vesz fel.

Mivel az integrál előtti szorzó tetszőlegesen kis értéket felvehet a hőmérsékletet csökkentve, ezért az integrál értékének növekedése ezt csak egy ideig tudja kompenzálni, egy kritikus hőmérséklet alatt (ahol $\alpha$ eléri a 0-t) a részecskeszám elkezd csökkenni, és a hőmérséklettel 0-hoz tartva az integrállal számolt részecskeszám is 0-hoz tart, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy a rendszerben a részecskék száma megmarad.

Az ellentmondás abból fakad, hogy a részecskeszám integrállal kiszámítása csak egy közelítés, a valóságban diszkrét állapotok vannak, és ezekre összegzést kell végezni. A legalacsonyabb energiaszinten levő részecskék száma:

$N_0 = \frac{1}{e^{\beta ( \varepsilon_0 - \mu )} - 1}$

A fenti esetben $\varepsilon_0 = 0$ és így az exponenciális függvény kitevőjében pont $\alpha$ áll. Abban az esetben, ha $\alpha$ 0-hoz tart (azaz a kémiai potenciál tart a legalacsonyabb energiájú állapothoz), $N_0$ értéke divergál, a legalacsonyabb állapotban levő részecskék száma akármilyen nagy lehet. Az első gerjesztett állapotban levő részecskék száma már véges, nagyságrendekkel kisebb lesz, így az a többi állapottal együtt integrállal kezelhető. Így a részecskeszám kiszámításához a kritikus hőmérséklet alatt a legalsó energiaszinten levő részecskék számát külön kell venni, a többi részecskét lehet integrállal számolni ($\alpha = 0$-val számolva). A részecskék száma a kritikus hőmérsékleten:

$N = 2 \pi V \left ( \frac{2 m k T_C}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x} - 1}$

A kritikus hőmérséklet alatt:

$N = N_0 + 2 \pi V \left ( \frac{2 m k T}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x} - 1}$

Itt $N_0$ adja a legalsó szinten levő részecskék számát, az integrálos tag pedig a magasabb energiaszinteken levő részecskéket. Ha a gáz hűtése közben a részecskék száma megmarad, akkor a két részecskeszám megegyezik és ebből $N_0$ kifejezhető:

$N_0 = N \left ( 1 - \left ( \frac{T}{T_C} \right )^{3/2} \right )$

A természetben ritka alkáli gőzökben ($^{23} \mathrm{Na}$ és $^{87} \mathrm{Rb}$) figyeltek meg Bose-kondenzációt, pár $\mu \mathrm{K}$ hőmérsékleten, mágneses csapdákban lehűtve. Az elsőre szóba jövő jelölt $^4 \mathrm{He}$-nél azon a hőmérsékleten és sűrűségen, ahol Bose-kondenzációra lehetne számítani, már folyadék halmazállapotba kerül, ahol már nem elhanyagolható a részecskék közötti kölcsönhatás, a Bose-kondenzáció helyett a szuperfolyékonyság jelenik meg, ami szintén egy makroszkópikus kvantumeffektus.

Hőmérsékleti sugárzás, Stefan-Boltzmann törvény

Vizsgáljuk meg egy (az egyszerűség kedvéért kocka alakú) kályhában kialakuló sugárzást! A kályha falait tökéletesen tükrözőnek (tökéletes vezető fémnek) feltételezve a Maxwell-egyenletek megoldásaként adódó állóhullámok felelnek meg a rendszer energiasajátállapotainak. A kályhában véges sok állóhullám módus alakulhat ki, egy módus frekvenciája:

$\omega = \frac{\pi c}{L} \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}$

Itt $L$ a kocka élhossza, $c$ a fénysebesség (a hullámok terjedési sebessége), $n_1, \, n_2$ és $n_3$ egész számok. Klasszikusan egy módus energiája bármennyi lehetne. A kvantumos tárgyalásban viszont az $\omega$ frekvenciájú módus energiája $n \hbar \omega$, ahol $n$ egész szám. Így a rendszer 0 tömegű, $\varepsilon = c p$ egyrészecske energiájú bozonokként kezelhető, melyekből egy módusban akárhány lehet. Ezeket a részecskéket nevezzük fotonoknak. A fotonokra nincsen részecskeszám megmaradást megkövetelő törvény, így a kémiai potenciáljuk 0, számukat csak a hőmérséklet határozza meg. A rendszer energiája:

$E = V \int_0^{\infty} \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} \frac{\hbar \omega \mathrm{d} \omega}{e^{\beta \hbar \omega} - 1}$

Az integrálban az első tag az $\omega$ és $\omega + \mathrm{d} \omega$ közötti módusok száma, a második tag az Bose-eloszlás az oszcillátor energiájával súlyozva. Az $x \equiv \beta \hbar \omega$ helyettesítéssel az integrálból a hőmérséklet kiemelhető, és az integrál a hőmérséklettől függetlenül elvégezhető, az eredményül adódó energiasűrűség:

$\frac{E}{V} = \frac{8 \pi}{(h c)^3} (k T)^4 \frac{\pi^4}{15} = 7,56 \cdot 10^{-16} \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}^4 \mathrm{m}^3} \cdot T^4$

Ez a Stefan-Boltzmann törvény. A fotongáz nyomása:

$p = \frac{1}{3} \frac{E}{V}$

Ez az $\varepsilon = c p$ diszperziós reláció következménye, fermionokra is fennálna, a szabadenergia felírásával és parciális integrálással történő átalakításával könnyen belátható.

Fononok, szilárdtestfizikai alkalmazások (diszperziós reláció)

Első közelítésben a szilárd testek rezgései is szabad Bose-gázként kezelhetőek. Az atomok kis rezgéseinek sajátértékproblémáját (például az atomokat rugókkal összekötött golyóknak képzelve, és lineáris közelítéssel számolva) megoldva a foton problémához hasonlóan állóhullám módusokat kapunk, fontos különbség az, hogy itt a hullámhossz nem lehet a rácsállandónál kisebb, így véges sok módust kapunk (szemben azzal, hogy a hőmérsékleti sugárzás hullámhossza tetszőlegesen kicsi lehet). Feltételezve, hogy egy módus energiája $n \hbar \omega$ lehet, ahol $n$ egész szám, az atomok rezgéseit kvázirészecskékkel lehet helettesíteni, amiket fononoknak nevezünk. A számítás a fotonokéhoz hasonló, fontos különbség, hogy az állapotsűrűség kifejezése más (bonyolultabb) és az, hogy csak véges sok módust kell összeadni. $E = \int_{\mathbf{k} \in \mathrm{BZ}} \frac{g(\mathbf{k}) \varepsilon(\mathbf{k}) \mathrm{d}^3 \mathbf{k}}{ e^{\beta \varepsilon(\mathbf{k})} - 1}$

A fenti integrálban a $g(\mathbf{k})$ függvény az állapotsűrűség és $\varepsilon(\mathbf{k})$ a módus energiája. Ezek általános esetben függhetnek a $\mathbf{k}$ hullámszámvektor irányától is.

Egy szilárd testre az $\varepsilon(\mathbf{k})$ diszperziós reláció általában valamilyen bonyolult függvény, de kis frekvenciákon általában lineáris közelítéssel lehet élni. Alacsony hőmérsékleten csak a kis energiájú módusok gerjesztődnek, így az egész spektrumot vehetjük jó közelítéssel lineárisnak, mert ahol ez már nem teljesülne, azok a módusok már nem (vagy elhanyagolhatóan keveset gerjesztődnek). A diszperziós relációnak általában több ága van, az origóból induló 3 akusztikus ág mellett létezik egy optikai ág is, amiben a 0 hullámszámhoz is véges frekvencia tartozik. A Bruillen-zóna szélénél az optikai és akusztikus ágak találkoznak. Az ehhez tartozó frekvenciára tehetünk egy becslést lineáris közelítésben, $\omega = c k$ diszperziós relációt feltételezve. A kristályrács rácsállandója $a \approx 10^{-10} \mathrm{m}$ nagyságrendű, a hangsebesség $c \approx 10^3 \mathrm{m} / \mathrm{s}$, így a maximális frekvencia $\omega_{\mathrm{max}} \approx c/a \approx 10^{13} \mathrm{s}^{-1}$. Az ennek megfelelő hőmérséklet (a Debye-hőmérséklet): $\hbar \omega_{max} \equiv k T_{\mathrm{D}} \rightarrow T_{\mathrm{D}} \approx 100 \mathrm{K}$

A Debye-hőmérsékletnél jóval alacsonyabb hőmérsékleten úgy tehetünk, mintha az egész spektrum lineáris lenne, és a módusokat a véges $\omega_{\mathrm{max}}$ helyett végtelenig számoljuk, mert az $\omega_{\mathrm{max}}$ körüli módusok már nem tudnak gerjesztődni, így a számolás teljesen ugyanaz lesz, mint a hőmérsékleti sugárzásnál. Vegyük még figyelembe, hogy a hanghullámoknak két transzverzális és egy longitudinális módusa is lehetséges, amiknek a terjedési sebessége általában különbözik, ennek a kezelésére vezessük be az effektív hangsebességet: $\frac{3}{c^3} \equiv \frac{1}{c_l^3} + \frac{2}{c_{tr}^3}$ Ezzel a képletek a hőmérsékleti sugárzáshoz hasonlóak lesznek. Az energia és a fajhő: $E = \frac{V \pi^2 (k T)^4}{10 (\hbar c)^3}$

$c_V = \frac{2 \pi^2 k^4 V}{5 (\hbar c)^3} T^3$

A lineáris spektrumra jellemző, hogy a fajhő a hőmérséklet harmadik hatványától függ, szilárd testeknél alacsony hőmérsékleten a fajhő ezt a viselkedést mutatja. A fenti képletek csak alacsony ($T \ll T_D$) hőmérsékleten érvényesek, amíg csak azok a módusok gerjesztődnek, ahol még érvényes az itt alkalmazott közelítés.

A Debye-hőmérsékletnél jóval magasabb hőmérsékleten már az összes módus gerjesztődik, viszont az összes módusra teljesül, hogy $\varepsilon(\mathbf{k}) \ll k T$, így a $e^{\beta \varepsilon(\mathbf{k})} -1 \approx \beta \varepsilon (\mathbf{k})$ közelítést alkalmazhatjuk, amivel az energia: $E = \int k T g(\mathbf{k}) \mathrm{d}^3 \mathbf{k} = 3 N k T$ Felhasználtuk, hogy az állapotsűrűség integrálja az összes módus számát adja, így az adódott eredményül, hogy elég magas (sok anyagra már szobahőmérsékletnél) hőmérsékleten teljesül az ekvipartíció, minden módusra $k T$ energia jut, a fajhő nem függ a hőmérséklettől.

A Debye hőmérséklet közelében is elvégezhetünk egy közelítést. Tegyük fel, hogy a spektrum a maximális hullámszámig lineáris, de nem a valódi maximális hullámszámot használjuk, hanem egy olyan effektív értéket, ami biztosítja, hogy a módusok száma megfeleljen a valóságnak:

$\int_0^{k_{max}} \frac{3 V k^2 \mathrm{d} k}{2 \pi^2} \equiv 3 N$

Ezzel felírva az energia:

$E = 3 N k T \operatorname{D} \left ( \frac{T_D}{T} \right )$

Ebben a magas hőmérsékleten számolt eredmény a Debye-függvénnyel van megszorozva:

$\operatorname{D} (x) \equiv \frac{3}{x} \int_0^x \frac{z^3 \mathrm{d} z}{e^z -1}$

A Debye-függvény alacsony hőmérsékleten a hőmérséklet köbével arányosan indul, magas hőmérsékleten viszont 1-hez tart, ez megfelel a korábban számolt két határesetnek.

Degenerált Fermi-gáz

A $T \rightarrow 0$ határesetet véve a Fermi-eloszlásfüggvény lépcsőfüggvénybe megy át: a kémiai potenciál alatti állapotok be vannak töltve, a felette levőkben nincs részecske. Így 0 hőmérsékleten az integrálok könnyen elvégezhetőek, ez az alacsony hőmérsékletű Fermi-gázokra jó közelítés lehet. A kémiai potenciált 0 hőmérsékleten Fermi-energiának is nevezik: $\varepsilon_F \equiv \mu$. A részecskeszám számítása:

$N = (2s + 1) \frac{2 \pi V (2 m)^{3/2}}{h^3} \int_0^{\varepsilon_F} \sqrt{\varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon = (2s + 1) \frac{4 \pi V (2 m)^{3/2}}{3 h^3} \varepsilon_F^{3/2}$

Az energia hasonlóan számolható, az eredmény:

$\frac{E}{N} = \frac{3}{5} \varepsilon_F$

Annak a feltétele, hogy ez a közelítés jó legyen felírható úgy is, hogy a hőmérséklet jóval kisebb legyen a Fermi-energiának megfelelő Fermi-hőmérsékletnél: $k T \ll \varepsilon_F$. Fémek vezetési elektronjaira a Fermi-hőmérséklet $T_F \approx 10^5 \mathrm{K}$, így ott ez egy elég jó közelítés.

Elektronfajhő, kvantumkorrekciók. {Bethe-Sommerfeld sorfejtés, Landau-paramágnesség}

Alacsony hőmérsékletű rendszereknél alkalmazható módszer a Bethe-Sommerfeld sorfejtés, aminek a lényege az, hogy a Fermi-eloszlást tartalmazó integrált $T = 0$ körül sorbafejtjük. Legyen a kiszámítandó integrál:

$I = \int_0^{\infty} g(\varepsilon) f(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon$

A fenti képletben $f(\varepsilon)$ a Fermi-eloszlás és legyen $g = G^{\prime}$ (azaz a $g$ függvény integrálja ismert, ami a 0 hőmérsékletű határesetnek felel meg. Ekkor parciálisan integrálva, majd a $G$ függvény a kémiai potenciál körül sorbafejtve a következőt kapjuk:

$I = -\int_0^{\infty} G(\varepsilon) f^{\prime} (\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon = G(\mu) - \sum_{k=1}^{\infty} G^{(k)} (\mu) \int_0^{\infty} (\varepsilon - \mu)^k f^{\prime} (\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon$

Az első tag a 0 hőmérsékletű határeset, az összegzésben a páratlan tagok 0-t adnak a páros tagokban az integrál elvégezhető, az eredmény:

$I = G(\mu) + \sum_{k=1}^{\infty} G^{(2k)} (\mu) (kT)^{2k} \left ( 2 - 2^{-2k} \right ) \zeta (2k) \approx G(\mu) + (kT)^2 \frac{\pi^2}{6} G^{\prime \prime} (\mu)$

Sokszor elég csak a legelső tagot megtartani, az eredeti jelölésekkel:

$\int_0^{\infty} \frac{g(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1} \approx \int_0^{\mu} g(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon + \frac{\pi^2}{6} (kT)^2 g^{\prime} (\mu)$

Ezzel például meghatározhatjuk a fémek fajhőjéhez az elektronok által adott járulékát (az elektronokat szabad Fermi-gáznak tekintve). A fémeknél a szobahőmérséklet nagyon kicsi a Fermi-hőmérséklethez képest, így elég csak az első tagot megtartani. Az a hőmérséklet négyzetétől függ, így a belőle számolt fajhőjárulék lineáris lesz. A pontos eredmény:

$c_V = \frac{\pi^2}{2} \frac{k T}{\varepsilon_F} N k$

Ez (mivel $k T / \varepsilon_F \approx 3 \cdot 10^{-3}$) szobahőmérsékleten a fononok fajhőjéhez képest elhanyagolhatóan kicsi, viszont a hőmérséklet függvényében változik (a fononokból származó fajhő itt már konstans), ezért ki lehet mérni. Alacsony hőmérsékleten viszont a köbösen induló fononfajhőhöz képest ez adja a nagyobb járulékot.