A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása

A mechanika elvei

A klasszikus mechanika alapvető törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i axiómákkal ekvivalens, azonban matematikailag más alakban, ami sokszor szemléletesebb, illetve egyszerűbb tud lenni. Ezek a mechanika elvei, amelyek nem bizonyítható axiómák, ezek helyességét a tapasztalatok adják.

A virtuális munka elve

Vegyünk egy N anyagi pontból álló mechanikai rendszert, amelynek koordinátái $x_i$, $y_i$, $z_i$, a ható erőt pedig $F_i$ jelöli. Legyen $\delta r_i$ az i-edik anyagipontnak a kényszerek által megengedett infinitezimális és virtuális elmozdulása. Itt a virtuális alatt azt értjük, hogy nem tartozik ezen elmozulásokhoz időtartam. A tárgyalt rendszer akkor lesz egyensúlyban, ha a ható erők virtuális munkája zérus:

$\sum_{i=1}^{N}F_i \delta r_i\,=0$

Szabad mozgás esetén minden $\delta r_i$ tetszőleges, tehát az erővektoroknak kell zérusnak lenniük. Ha van N pontunk, akkor azokhoz 3N darab koordináta tartozik, és ennél kevesebb kényszerfeltétel lehet adott, különben nincs mozgás. Itt most feltesszük, hogy a kényszereink egy felületre korlátozzák a rendszert, és ezért alakjuk így írható:

$\phi( r_1, r_2, ..., r_N ) = 0\,$

A kényszerfeltételek a virtuális elmozdulások alatt is kell, hogy teljesüljenek, ebből valamint egy infinitezimális elmozduláshoz tartozó Taylor-sorfejtésből belátható, hogy a kényszerfeltételek a kövektező általános alakba írhatóak:

$\sum_{i=1}^{N}\operatorname{grad}_i \phi_k \delta r_i\,=0$ $\,k = 1, ..., s<3N$

Ezeket a Lagrange-multiplikátorok módszerével vehetjük figyelembe: egy ismeretlen $\lambda_k$ szorzóval hozzáadjuk őket a virtuális munka egyenlethez:

$\sum_{i=1}^{N} \left( F_i+\sum_{k=1}^{s}\lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k \right)\delta r_i\,=0$

Most a szabad esettel szemben csak (3N-s) darab együttható lesz zérus, de a többinél a Lagrange-multiplikátorokat választjuk úgy, hogy a maradék együtthatók is eltűnjenek. Ekkor úgy tekinthetjük, mintha a virtuális elmozdulások függetlenek lennének, ezért az egyenlőség teljesüléséhez az erők összegének kell zérusnak lennie, ezért:

$F_i + \sum_{k=1}^{s}\lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k \,=0$

A második tagot elnevezhetjük kényszererőknek, és ekkor a az egyensúly feltétele, hogy a szabad és kényszererők összege zérus legyen. A $\lambda grad \phi$-s definícióból az is látható, hogy felületen mozgásnál a kényszererő merőleges a felületre (mivel grad$\phi$ a felületi normális irányába mutat).

d'Alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek

Jean le Rond d'Alembert a virtuális munka elvéhez hasonló kifejezést vezetett be, de az nem csak az egyensúlyt írja le, hanem egyben mozgástörvény is:

$\sum_{i=1}^{N} \left( \mathbf{F}_i-\dot{\mathbf{p}_i} \right) \delta \mathbf{r}_i=0$

A mechanikai rendszer az elv értelmében úgy mozog, hogy a fenti kifejezés minden időpillanatban teljesül. Szabad rendszerre ez a Newton mozgásegyenletet adja, hiszen tetszőleges :$\delta \mathbf{r}_i$-re el kell tűnnie a zárójelnek, azaz $\mathbf{F}_i=\dot{\mathbf{p}_i}$. Ha kényszerek is jelen vannak, akkor ismér a Lagrange-multiplikátoros átalakítást végezzük el:

$\sum_{i=1}^{N} \left( \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k-\dot{\mathbf{p}_i} \right) \delta \mathbf{r}_i=0$

A virtuális munka elvéhez hasonlóan itt is formálisan függetlenként kezelhetők a megváltozások, így

$\dot{\mathbf{p}_i} = \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k$

Ha feltesszük, hogy a tömeg állandó, akkor $\dot{\mathbf{p}_i}=m_i\ddot{\mathbf{r}_i}$, tehát:

$m_i\ddot{\mathbf{r}_i} = \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k$

Ezt az egyenletet nevezzük a Lagrange-féle elsőfajú egyenleteknek (N darab van belőlük). Mivel ezek vektor egyenletek, így tulajdonképpen 3N darab egyenletünk van, és ezenkívül az s darab kényszeregyenlet. Ez éppen annyi, mint az ismeretlenek száma: 3N darab térkoordináta az idő függvényében, és az s darab multiplikátor.

A Gauss-féle legkisebb kényszer

Gauss bevezette a kényszer mértékét:

$Z = \sum_{i=1}^{3N}\frac{1}{m_i} \left( m_i\ddot{x}_i-X_i\right)^{2}$

Itt $X_i$ szabaderő. A zárójelben tehát a szabad mozgástól való eltérés áll a kényszerek hatására. Gauss elve a következőt mondja: a kényszerek által megengedett gyorsulásváltozások közül a legkisebb valósul meg. Variációs módszerrel alakítható ez tovább, amikoris csak a gyorsulást variáljuk. Holonom-szkleronom kényszerekre $\sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}\delta x_i =0$. Ez időderiválás után: $\sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}\delta \ddot{x_i} =0$. Ugyanakkor a kényszert is megvariáljuk:

$2 \cdot \sum_{i=1}^{3N} \left( m_i \ddot{x}_i - X_i \right) \delta \ddot{x_i} = 0$

Ehhez hozzáadva a szokásos módon Lagrange multiplikátorral a kényszereket:

$\sum_{i=1}^{3N} \left( m_i \ddot{x}_i - X_i - \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i} \right) \delta \ddot{x_i} = 0$

Ismét a megszokott módon a megválasztás független, illetve ahol nem, ott a Lagrange együtthatókat választjuk meg, tehát:

$m_i \ddot{x}_i = X_i - \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}$

Általános koordináták és a Lagrange-féle másodfajú mozgástörvény

Az eddigi tárgyalásokban a kényszerek, mint független egyenletek voltak figyelembe véve. Ha azonban olyan koordinátákra térünk át, amelyek illeszkednek a kényszerekhez, akkor ezekben ezek a feltételek eltűnnek, így egyszerűbb alakot kapunk a mozgásegyenletekre. Az állítás az, hogy ilyen transzformációk léteznek, az ilyen áttéréssel kapott új koordinátákat általános koordinátáknak nevezzük, és $q_k$-val jelöljük, az általános sebességeket pedig $\dot{q_k}$-val. Itt kell megjegyezni, hogy ezek nem feltétlen hosszúság illetve sebesség dimenziójú változók.

A koordináta transzformációs függvények deriváltjaival és kis megváltozásaival átírható a d'Alembert-elv varióciós módszerrel. Ha bevezetjük a $Q_k = \sum_{l=1}^{3N}X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$ általánosított erőt, amely nem feltétlen erő dimenziójú, de a $\sum_{i} Q_i \delta q_i$ munka dimenziójú. Továbbá bevezetjük a mozgásienergiát: $K=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x_i}^{2}$. Ezekkel átírva a d'Alembert-elv a következő alakú lesz:

$\sum_{k=1}^{f} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q_k}}-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k \right)\delta q_k = 0$

Itt f a szabadsági fokok száma (a 3N szabadság az s darab kényszerrel csökkentve). A tetszőleges variáció miatt:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial K}{\partial q_k} = Q_k, k=1, ..., f$

Ezek a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek. Ha az erők konzervatívak, akkor felírhatók potenciál deriváltjaként, és ekkor minden K helyére K-V írandó, amelyet elnevezhetünk Lagrange-függvénynek, így a képlet a jól ismert alakot ölti:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0, k=1, ..., f$

Ezek felhasználásával általános módszert adhatunk a mechanikai problémák megoldására: Ismerjük fel a rendszert jellemző általános koordinátákat, és írjuk fel a transzformációs függvényeket. Az így definiált általános koordinátákkal fejezzük ki a potenciált (V), az általános sebességekkel pedig a kinetikus energiát (K). Végül írjuk fel a Lagrange-függvényt (L = K - V), és belőle a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenleteket. Az így kapott mozgásegyenlet pedig elvileg megoldható.

Hamilton-féle variációs elv és az Euler-Lagrange egyenletek

A Hamilton által kimondott variációs elv, az eddigieken azért mutat túl, mert nem csupán a mechanikai problémák általános megfogalmazásában használható, hanem az optika és a kvantummechanika törvényeit is egyszerűen meg lehet általa fogalmazni. Konzervatív rendszerre az állítás a következő:

$S = \int\limits_{t1}^{t2} L dt =$extrémum

Itt S a hatás, L a Lagrange-függvény. Az állítás az, hogy ebből $q_k(t)$ meghatározható. A problémát variációszámítási módszerekkel lehet megoldani, amely egy funkcionált szélsőértékbe vívő függvényeket határozza meg. Ez pont az itteni probléma, hiszen a Lagrange az általánosított koordinátáktól, sebességektől és esetleg az időtől függ, és mi az általánosított koordinátákat keressük. A variációs módszerből adódó egyenletk a következőek:

$\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} = 0, k=1, ..., f$

Ezek az Euler-Lagrange egyenletek.

Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény

Az eddig használt Lagrange leírásban másodrendű differenciálegyenletket kaptunk. Az úgynevezett kanonikus egyenletek azzel szemben elsőrendű differenciálegyenleteket szolgáltatnak, amelyek a másodrendűekkel egyenértékűek, azonban kétszer annyi van belőlük. Bevezetjük a kanonikusan konjugált impulzust:

$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}$

És bevezetjük a Hamilton-függvényt:

$H = \sum_{k=1}^{f} p_k \dot{q_k} - L$

Az Euler-Lagrange egyenletek figyelembevételével, és a Hamilton-függvény teljes differenciájának felhasználásával kapjuk a kanonikus egyenleteket:

$\dot{q_k} = \frac{\partial H}{\partial p_k}$

$\dot{p_k} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}$

Továbbá:

$\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}$

Ha a rendszer konzervatív, és az általánosított koordinátákra való áttérés időfüggetlen, akkor a Hamilton-függvény a mechanikai energiát adja. Ennek a formalizmusnak kiemelkedő szerepe van a kvantummechanika és a kvantumtéreleméletek tágyalásánál.

Ciklikus koordináták, kanonikus transzformáció

Ha a Hamilton-függvény nem függ valamely koordinátától, akkor az ahhoz a koordinátához tartozó konjugált impulzus állandó a kanonikus egyenletek miatt, és azonnal megoldást szolgáltat a mozgásegyenletre ($q_k(t)=\dot{q_k}\cdot t + c = \frac{\partial H}{\partial p_k}\cdot t + c$). Az ilyen tulajdonságú koordinátát ciklikus koordinátának nevezzük. Értelemszerűen minél több ciklikus kooridnátánk van, annál egyszerűbb megoldani az adott problémát. Ezért érdemes foglalkozni azokkal a transzformációkkal, amelyek változatlanul hagyják a kanonikus egyenleteket, de ciklikus koordinátákra térhetünk át segítségükkel. Ezek a transzformációk tehát olyan koordináták között visznek át, amelyek teljesítik a kanonikus egyenletket továbbá a variációs elvnek is eleget tesznek (a kanonikus egyenletek is abból származtathatóak). Ezek alapján belátható, hogy a variált funkcionálban van egy szabadságunk egy tetszőleges függvény időszerinti deriváltjának erejéig. Ezt a függvény nevezzük alkotó függvénynek, mert segítségével kifejezhetőek a transzformációs szabályok. Az alapján, hogy az alkotó függvényt melyik két változóval fejezzük ki a négy (régi és új koordináta, régi és új impulzus) közül, különböző összefüggéseket kapunk a koordináták és az alkotó függvény között, valamint megkapjuk a Hamilton-függvény transzformácóját is.

Maupertuis-elv (*)

A Maupertuis-elv energiamegmaradó rendszerekre vonatkozik, vagyis a Lagrange-függvény nem függ explicite az időtől. Az elv kimondja, hogy a rendszer által megtett út olyan, hogy a rövidített hatás

$S_0 = \int p dq = min.$

ahol az integrált a pályára vett vonalintegrálként kell érteni.

A Hamilton-Jacobi egyenlet

A mozgásegyenletek megoldhatóak egy szélsőséges tanszformációval is, amennyiben a a Hamilton-függvényt zérusra transzformáljuk. Ekkor mind a koordináták, mind az impulzusok deriváltjai nullával egyenlőek a kanonikus egyenletek értelmében. A Hamilton-függvényre vonatkozó transzformációs egyenlet az alkotófüggvénnyel kifejezve a következő:

$\bar{H} = H + \frac{\partial W}{\partial t}$

Mivel a végső Hamiltonnak zérust szeretnénk, ezzel a feltétellel egy speciális alkotófüggvényt definiálhatunk, amely a következő egyenletet elégíti ki:

$0 = H + \frac{\partial S}{\partial t}$

A Hamilton-függvény a koordináták, az impulzus és az idő függvénye lehet. Ezek közül az alkotó függvénnyel az impulzus is kifejezhető, ezért:

$0 = H\left(q_k, \frac{\partial S}{\partial q_k}, t \right) + \frac{\partial S}{\partial t}$

Ez a Hamilton-Jacobi egyenlet, és S a hatásfüggvény, amelyet már korábban bevezettünk a Hamilton-féle variációs elvnél. A Hamilton-Jacobi egyenlet abban különbözik az eddigiektől, hogy parciális differenciálegyenlet, ezért határfeltételek is kellenek hozzá, és nehezebb megoldani, ennek ellenére ha nem közvetlenül a mozgásegyenletet akarjuk megkapni, csak összefüggéseket a hatás és a koordináták között, akkor sokfelé jól használható.

A Liouville-tétel(*)

A Hamilton-i mechanikai rendszerekre kimondható a Liouville-tétel, ami azt fogalmazza meg, hogy nem-disszipatív rendszerre a fázistérfogat állandó marad. Ha $\rho$ a fázistérbeli eloszlás függvény, és a rendszer d dimenziós:

$\frac{d \rho}{dt} = \frac{ \partial \rho}{\partial t } + \sum_{i=1}^d \left( \frac{\partial \rho }{\partial q^i} \dot{q^i} + \frac{\partial \rho }{\partial p^i} \dot{p^i}\right) = 0$

Ez azért fontos egyenlet, mert nem csak egyensúlyi szituációkban használható, hanem sokrészecskés bonyolult dinamikai problémákra is, ezért alapvető fontosságú a statisztikus jelenségek tárgyalásában.

Megmaradási tételek, mint szimmetriák következményei

A közismert és a klasszikus mechanikában előbukkanó megmaradási tételek igen egyszerűen következnek a Hamilton-függvényes formailzmusból.

Impulzusmegmaradás

Az impulzusmegmardás a tárgyalási koordinátarendszer eltolásával szembeni invarianciából vezethető le. Ez tulajdonképpen a tér homogenitása: mindegy hogy hova tesszük a mechanikai rendszert, a Hamiltonja ugyanaz, és az események ugyanúgy zajlanak.

Impulzusmomentum megmaradása

Az impulzusmomentum megmaradása a koordinátarendszer elforgatásával szembeni invarianciából vezethető le. Ez tulajdonképpen a tér izotrópiája: mindegy hogy hogyan forgatjuk el a mechanikai rendszert, a Hamiltonja ugyanaz, és az események ugyanúgy zajlanak.

Energiamegmaradás

Ez az időbeli eltolásból következik, azaz mindegy, hogy egy adott kísérletet mikor végzünk el, a lefolyása ugyanaz, a Hamiltonja ugyanaz.

Noether-tétel(*)

A Noether-tétel azt mondja, hogy a Lagrange-függvény szimmetriáihoz hogyan lehet megmaradó mennyiséget rendelni.

Állítás:Ha a Lagrange-függvénynek szimmetriája a:

$q_i \rightarrow q_i^{\prime} = q_i + \epsilon f_i(q,\dot{q})$

$\dot{q_i} \rightarrow \dot{q_i^{\prime}} = \dot{q_i} + \epsilon \dot{f_i}(q,\dot{q})$

akkor a következő mennyiség megmaradó:

$\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}f_i$

Bizonyítás:

$L(q_i+\epsilon f_i, \dot{q_i}+\epsilon \dot{f_i})-L(q_i, \dot{q_i})=\sum \frac{\partial L}{\partial q_i}\epsilon f_i+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\epsilon \dot{f_i} = \sum \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) \epsilon fi + \sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\epsilon \dot{f_i} = \epsilon \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}f_i\right) = 0$